Номер 8.5, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.5. Покажите, что функция $y = Ae^x - (x^2 + 2x + 2)$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = y + x^2$.

8.5. Чтобы показать, что функция $y = Ae^x - (x^2 + 2x + 2)$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = y + x^2$, необходимо подставить эту функцию и ее производную в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1. Найдём производную $\frac{dy}{dx}$ от заданной функции $\text{y}$:

$y = Ae^x - (x^2 + 2x + 2)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(Ae^x - x^2 - 2x - 2) = (Ae^x)' - (x^2)' - (2x)' - (2)'$

$\frac{dy}{dx} = Ae^x - 2x - 2$

Это выражение для левой части дифференциального уравнения.

2. Теперь подставим исходную функцию $\text{y}$ в правую часть уравнения, $y + x^2$:

$y + x^2 = (Ae^x - (x^2 + 2x + 2)) + x^2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$y + x^2 = Ae^x - x^2 - 2x - 2 + x^2 = Ae^x - 2x - 2$

3. Сравним левую и правую части уравнения:

Левая часть: $\frac{dy}{dx} = Ae^x - 2x - 2$

Правая часть: $y + x^2 = Ae^x - 2x - 2$

Поскольку левая и правая части уравнения оказались тождественно равны, функция $y = Ae^x - (x^2 + 2x + 2)$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = y + x^2$.

Ответ: Подстановка функции и её производной в дифференциальное уравнение приводит к верному тождеству $Ae^x - 2x - 2 = Ae^x - 2x - 2$, что и требовалось доказать.