Номер 8.11, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.11. Найдите функцию $y(x)$, удовлетворяющую уравнению $y^2 y' = 2$ и условию $y(2) = 2$.

Данное уравнение $y^2y' = 2$ является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для его решения сначала представим производную $y'$ в виде $\frac{dy}{dx}$:

$y^2\frac{dy}{dx} = 2$

Теперь разделим переменные, перенеся все члены с $\text{y}$ в левую часть, а с $\text{x}$ — в правую:

$y^2 dy = 2 dx$

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

$\int y^2 dy = \int 2 dx$

Вычисляя интегралы, получаем общее решение дифференциального уравнения:

$\frac{y^3}{3} = 2x + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Выразим $\text{y}$ из этого уравнения:

$y^3 = 6x + 3C$

Заменим $3C$ на новую константу $C_1$ ($C_1 = 3C$):

$y^3 = 6x + C_1$

Отсюда общее решение для функции $y(x)$:

$y(x) = \sqrt[3]{6x + C_1}$

Теперь используем начальное условие $y(2) = 2$, чтобы найти значение константы $C_1$. Подставим $x=2$ и $y=2$ в общее решение:

$2 = \sqrt[3]{6 \cdot 2 + C_1}$

$2 = \sqrt[3]{12 + C_1}$

Для нахождения $C_1$ возведем обе части уравнения в третью степень:

$2^3 = 12 + C_1$

$8 = 12 + C_1$

$C_1 = 8 - 12 = -4$

Подставим найденное значение $C_1 = -4$ в общее решение, чтобы получить частное решение, удовлетворяющее заданным условиям:

$y(x) = \sqrt[3]{6x - 4}$

Ответ: $y(x) = \sqrt[3]{6x - 4}$