Номер 8.14, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.14. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной в точке (1; 2) к интегральной кривой дифференциального урав- нения:

1) $y' = 2x;$

2) $y' = -y;$

3) $y' = y + x;$

4) $y' + xy = 1.$

Геометрический смысл производной функции $y(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ заключается в том, что ее значение $y'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. Дифференциальное уравнение связывает производную $y'$ с координатами $\text{x}$ и $\text{y}$. Чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке $(1; 2)$, нужно подставить $x=1$ и $y=2$ в каждое из данных уравнений.

1) Дано уравнение $y' = 2x$.

Угловой коэффициент $\text{k}$ в точке $(1; 2)$ равен значению производной в этой точке. В данном случае $y'$ зависит только от $\text{x}$.

Подставим $x=1$:

$k = y'|_{(1;2)} = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $\text{2}$.

2) Дано уравнение $y' = -y$.

Угловой коэффициент $\text{k}$ в точке $(1; 2)$ равен значению производной в этой точке. В данном случае $y'$ зависит только от $\text{y}$.

Подставим $y=2$:

$k = y'|_{(1;2)} = -2$.

Ответ: $-2$.

3) Дано уравнение $y' = y + x$.

Угловой коэффициент $\text{k}$ в точке $(1; 2)$ равен значению производной в этой точке. Здесь $y'$ зависит и от $\text{x}$, и от $\text{y}$.

Подставим $x=1$ и $y=2$:

$k = y'|_{(1;2)} = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $\text{3}$.

4) Дано уравнение $y' + xy = 1$.

Сначала выразим $y'$ из уравнения:

$y' = 1 - xy$.

Теперь найдем угловой коэффициент $\text{k}$ в точке $(1; 2)$, подставив $x=1$ и $y=2$ в полученное выражение.

$k = y'|_{(1;2)} = 1 - (1 \cdot 2) = 1 - 2 = -1$.

Ответ: $-1$.