Вопросы, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите общий вид дифференциального уравнения первого порядка.

2. Какие дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделяющимися переменными?

3. Как решаются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными?

1. Напишите общий вид дифференциального уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную $\text{x}$, искомую функцию $y(x)$ и её первую производную $y'$. Порядок уравнения определяется наивысшим порядком входящей в него производной.

Существует несколько форм записи общего вида такого уравнения:

1. Неявная форма: $F(x, y, y') = 0$. Это наиболее общая форма, где $\text{F}$ — некоторая функция трех переменных.

2. Явная форма (разрешенное относительно производной): $y' = f(x, y)$. Эта форма используется наиболее часто, так как она явно выражает производную через функцию от $\text{x}$ и $\text{y}$.

3. Дифференциальная форма: $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$. Эта форма получается из предыдущей, если положить $y' = \frac{dy}{dx}$ и привести к общему знаменателю.

Ответ: Общий вид дифференциального уравнения первого порядка можно записать как $F(x, y, y') = 0$ или, в более частном, но распространенном случае, как $y' = f(x, y)$.

2. Какие дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделяющимися переменными?

Уравнениями с разделяющимися переменными называют дифференциальные уравнения первого порядка вида $y' = f(x, y)$, в которых функция $f(x, y)$ может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от $\text{x}$, а другая — только от $\text{y}$.

То есть уравнение можно привести к виду:

$y' = g(x) \cdot h(y)$

где $g(x)$ — функция, зависящая только от переменной $\text{x}$, а $h(y)$ — функция, зависящая только от переменной $\text{y}$.

В дифференциальной форме такое уравнение записывается как:

$M(x)dx + N(y)dy = 0$

Здесь видно, что множитель при $dx$ зависит только от $\text{x}$, а множитель при $dy$ — только от $\text{y}$.

Ответ: Уравнениями с разделяющимися переменными называют уравнения, которые могут быть представлены в виде $y' = g(x)h(y)$ или, в дифференциальной форме, $M(x)dx + N(y)dy = 0$.

3. Как решаются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными?

Для решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными используется метод, который так и называется — метод разделения переменных. Процесс решения состоит из следующих шагов:

1. Исходное уравнение $y' = g(x)h(y)$ представляют в дифференциальной форме, заменяя $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

2. Производят "разделение переменных": все члены, содержащие $\text{y}$ и $dy$, переносят в одну часть уравнения, а все члены, содержащие $\text{x}$ и $dx$ — в другую. Для этого уравнение умножают на $dx$ и делят на $h(y)$ (при условии, что $h(y) \neq 0$):

$\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$

3. Интегрируют обе части полученного равенства:

$\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)dx + C$

где $\text{C}$ — произвольная постоянная интегрирования.

4. После вычисления интегралов получают общее решение (если удалось выразить $\text{y}$ через $\text{x}$) или общий интеграл (в виде неявной функции $\Phi(x, y, C) = 0$) исходного уравнения.

Примечание: При делении на $h(y)$ могут быть потеряны решения. Если существуют значения $y_0$ такие, что $h(y_0)=0$, то функции вида $y=y_0$ также являются решениями исходного уравнения. Их следует проверять отдельно.

Ответ: Уравнения с разделяющимися переменными решаются путем алгебраических преобразований для разделения переменных с последующим интегрированием обеих частей уравнения: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)dx + C$.