Номер 8.22, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.22. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

1) $y' = y;$

2) $y' = 2x;$

3) $y' = xy^2;$

4) $y' = e - x.$

1) Запишем уравнение $y' = y$, используя обозначение $y' = \frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = y$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Предполагая $y \neq 0$, разделим переменные, чтобы сгруппировать выражения с $\text{y}$ и $dy$ в одной части, а с $\text{x}$ и $dx$ в другой: $\frac{dy}{y} = dx$. Теперь проинтегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dy}{y} = \int dx$. В результате интегрирования получаем $\ln|y| = x + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная. Выразим $\text{y}$, потенцируя обе части: $|y| = e^{x+C_1}$, что можно записать как $|y| = e^x \cdot e^{C_1}$. Обозначим новую константу $C = \pm e^{C_1}$. Тогда решение принимает вид $y = Ce^x$. Отметим, что случай $y=0$, который мы исключали при делении, также является решением, так как при подстановке в исходное уравнение получается верное равенство $0=0$. Это решение содержится в общей формуле при $C=0$.

Ответ: $y = Ce^x$.

2) Дано уравнение $y' = 2x$. Запишем его в виде $\frac{dy}{dx} = 2x$. Это простейшее дифференциальное уравнение, которое можно решить методом прямого интегрирования, разделив переменные. Перепишем уравнение как $dy = 2x dx$. Проинтегрируем обе части: $\int dy = \int 2x dx$. Вычисление интегралов дает $y = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная интегрирования. Упрощая выражение, получаем окончательное решение.

Ответ: $y = x^2 + C$.

3) Рассмотрим уравнение $y' = xy^2$. Запишем его как $\frac{dy}{dx} = xy^2$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Если $y \neq 0$, мы можем разделить переменные: $\frac{dy}{y^2} = x dx$. Проинтегрируем обе части: $\int \frac{dy}{y^2} = \int x dx$. Интегралы равны $\int y^{-2} dy = -\frac{1}{y}$ и $\int x dx = \frac{x^2}{2}$. Таким образом, мы получаем равенство $-\frac{1}{y} = \frac{x^2}{2} + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная. Выразим $\text{y}$: $y = -\frac{1}{\frac{x^2}{2} + C_1} = -\frac{2}{x^2 + 2C_1}$. Переобозначив константу $C = 2C_1$, получим $y = -\frac{2}{x^2 + C}$. Важно проверить случай $y=0$, который был исключен. Подстановка $y=0$ в исходное уравнение дает $y'=0$, и правая часть $xy^2 = x \cdot 0^2 = 0$. Так как $0=0$, $y=0$ также является решением (особым решением).

Ответ: $y = -\frac{2}{x^2 + C}$ и $y=0$.

4) Решим уравнение $y' = e - x$. Запишем его в дифференциальной форме: $\frac{dy}{dx} = e - x$. Здесь $\text{e}$ — математическая константа (число Эйлера). Это уравнение решается прямым интегрированием. Разделим переменные: $dy = (e - x)dx$. Интегрируем обе части: $\int dy = \int (e - x)dx$. Вычисляя интегралы, получаем $y = ex - \frac{x^2}{2} + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $y = ex - \frac{x^2}{2} + C$.