Номер 8.20, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.20*. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int \ln(x^2 + 4)dx$;

2) $\int (5x - 2) e^{3x}dx$;

3) $\int \frac{xdx}{\sin^2 x}$;

4) $\int x\sin^2 xdx$.

1) Для решения интеграла $ \int \ln(x^2 + 4)dx $ воспользуемся методом интегрирования по частям: $ \int u dv = uv - \int v du $.

Пусть $ u = \ln(x^2 + 4) $, тогда $ du = \frac{2x}{x^2 + 4}dx $.

Пусть $ dv = dx $, тогда $ v = x $.

Подставляем в формулу:

$ \int \ln(x^2 + 4)dx = x \ln(x^2 + 4) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 4}dx = x \ln(x^2 + 4) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 4}dx $.

Теперь найдем оставшийся интеграл. Преобразуем подынтегральное выражение, выделив целую часть:

$ \frac{2x^2}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4 - 4)}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4)}{x^2 + 4} - \frac{8}{x^2 + 4} = 2 - \frac{8}{x^2 + 4} $.

Тогда интеграл равен:

$ \int \frac{2x^2}{x^2 + 4}dx = \int (2 - \frac{8}{x^2 + 4})dx = \int 2dx - 8 \int \frac{1}{x^2 + 2^2}dx $.

Это табличные интегралы:

$ \int 2dx = 2x $

$ \int \frac{1}{x^2 + a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C $, в нашем случае $ a=2 $, поэтому $ \int \frac{1}{x^2 + 2^2}dx = \frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2}) $.

Следовательно:

$ \int \frac{2x^2}{x^2 + 4}dx = 2x - 8 \cdot \frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2}) = 2x - 4\arctan(\frac{x}{2}) $.

Возвращаемся к исходному выражению:

$ \int \ln(x^2 + 4)dx = x \ln(x^2 + 4) - (2x - 4\arctan(\frac{x}{2})) + C = x \ln(x^2 + 4) - 2x + 4\arctan(\frac{x}{2}) + C $.

Ответ: $ x \ln(x^2 + 4) - 2x + 4\arctan(\frac{x}{2}) + C $.

2) Для решения интеграла $ \int (5x - 2) e^{3x}dx $ применим метод интегрирования по частям: $ \int u dv = uv - \int v du $.

Выберем в качестве $ u $ многочлен, так как его производная упрощается.

Пусть $ u = 5x - 2 $, тогда $ du = 5dx $.

Пусть $ dv = e^{3x}dx $, тогда $ v = \int e^{3x}dx = \frac{1}{3}e^{3x} $.

Подставляем в формулу:

$ \int (5x - 2) e^{3x}dx = (5x - 2) \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} \cdot 5dx $

$ = \frac{1}{3}(5x - 2)e^{3x} - \frac{5}{3}\int e^{3x}dx $.

Интеграл $ \int e^{3x}dx $ равен $ \frac{1}{3}e^{3x} $.

$ = \frac{1}{3}(5x - 2)e^{3x} - \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{5x-2}{3}e^{3x} - \frac{5}{9}e^{3x} + C $.

Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $ e^{3x} $:

$ = (\frac{3(5x - 2)}{9} - \frac{5}{9})e^{3x} + C = (\frac{15x - 6 - 5}{9})e^{3x} + C = \frac{15x - 11}{9}e^{3x} + C $.

Ответ: $ \frac{15x - 11}{9}e^{3x} + C $.

3) Для нахождения интеграла $ \int \frac{xdx}{\sin^2 x} $ воспользуемся методом интегрирования по частям: $ \int u dv = uv - \int v du $.

Пусть $ u = x $, тогда $ du = dx $.

Пусть $ dv = \frac{1}{\sin^2 x}dx $, тогда $ v = \int \frac{1}{\sin^2 x}dx = -\cot x $.

Подставляем в формулу:

$ \int \frac{xdx}{\sin^2 x} = x(-\cot x) - \int (-\cot x)dx = -x \cot x + \int \cot x dx $.

Найдем интеграл от котангенса:

$ \int \cot x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}dx $.

Сделаем замену $ t = \sin x $, тогда $ dt = \cos x dx $.

$ \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln|\sin x| + C $.

Подставляем обратно в основное выражение:

$ \int \frac{xdx}{\sin^2 x} = -x \cot x + \ln|\sin x| + C $.

Ответ: $ -x \cot x + \ln|\sin x| + C $.

4) Для решения интеграла $ \int x\sin^2x dx $ сначала используем тригонометрическую формулу понижения степени: $ \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

Подставим в интеграл:

$ \int x\sin^2x dx = \int x \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (x - x\cos(2x))dx = \frac{1}{2} (\int x dx - \int x\cos(2x)dx) $.

Первый интеграл: $ \int x dx = \frac{x^2}{2} $.

Второй интеграл $ \int x\cos(2x)dx $ решаем по частям: $ \int u dv = uv - \int v du $.

Пусть $ u = x $, тогда $ du = dx $.

Пусть $ dv = \cos(2x)dx $, тогда $ v = \int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

$ \int x\cos(2x)dx = x \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x)dx = \frac{x}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\int \sin(2x)dx $.

Так как $ \int \sin(2x)dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) $, то

$ \int x\cos(2x)dx = \frac{x}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) $.

Теперь соберем все вместе:

$ \int x\sin^2x dx = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - \left( \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) \right) \right) + C $

$ = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{8}\cos(2x) + C $.

Ответ: $ \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{8}\cos(2x) + C $.