Номер 8.24, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.24. Решите задачи Коши для уравнений с разделяющимися переменными:

1) $x \frac{dy}{dx} = y^2$, $y = 10$ при $x = 1$;

2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}$, $y(1) = 2$;

3) $\frac{dy}{dx} = e^y \sin 2x$, $y = 0$ при $x = 0$;

4) $\frac{dy}{dx} = x^2 e^y$, $y = 10$ при $x = 0$.

Дифференциальные уравнения часто применяются для решения прикладных задач. Один из примеров – закон охлаждения Ньютона. Математическая модель физического процесса – дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Закон охлаждения Ньютона

Скорость охлаждения тела прямо пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

Закон охлаждения Ньютона записывается в виде дифференциального уравнения

$T' = k(T - T_{\text{окр.}})$

где $T_{\text{окр.}}$ – температура окружающей среды.

1)

Решим задачу Коши для уравнения $x \frac{dy}{dx} = y^2$ с начальным условием $y = 10$ при $x = 1$.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, предполагая, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

$\frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x}$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dx}{x}$

Вычисляя интегралы, получаем общее решение:

$-\frac{1}{y} = \ln|x| + C$, где $\text{C}$ - постоянная интегрирования.

Используем начальное условие $y(1) = 10$, чтобы найти значение $\text{C}$. Подставим $x=1$ и $y=10$:

$-\frac{1}{10} = \ln|1| + C$

$-\frac{1}{10} = 0 + C \implies C = -\frac{1}{10}$

Подставим найденное значение $\text{C}$ обратно в общее решение. Так как начальное условие задано при $x=1 > 0$, мы рассматриваем решение в окрестности этой точки, где $x>0$, поэтому $\ln|x| = \ln(x)$.

$-\frac{1}{y} = \ln(x) - \frac{1}{10}$

Выразим $\text{y}$ из этого уравнения:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{10} - \ln(x) = \frac{1 - 10\ln(x)}{10}$

$y = \frac{10}{1 - 10\ln(x)}$

Ответ: $y = \frac{10}{1 - 10\ln(x)}$

2)

Решим задачу Коши для уравнения $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}$ с начальным условием $y(1) = 2$.

Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их:

$\frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x}$

Интегрируем обе стороны:

$\int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dx}{x}$

$-\frac{1}{y} = \ln|x| + C$

Теперь используем начальное условие $y(1) = 2$ для нахождения $\text{C}$.

$-\frac{1}{2} = \ln|1| + C$

$-\frac{1}{2} = 0 + C \implies C = -\frac{1}{2}$

Подставляем $\text{C}$ в общее решение. Так как $x=1 > 0$, мы можем записать $\ln(x)$ вместо $\ln|x|$.

$-\frac{1}{y} = \ln(x) - \frac{1}{2}$

Выразим $\text{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{2} - \ln(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{2}$

$y = \frac{2}{1 - 2\ln(x)}$

Ответ: $y = \frac{2}{1 - 2\ln(x)}$

3)

Решим задачу Коши для уравнения $\frac{dy}{dx} = e^{-y} \sin(2x)$ с начальным условием $y = 0$ при $x = 0$.

Разделим переменные в уравнении:

$\frac{dy}{e^{-y}} = \sin(2x) dx$

$e^y dy = \sin(2x) dx$

Интегрируем обе части:

$\int e^y dy = \int \sin(2x) dx$

$e^y = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$

Используем начальное условие $y(0) = 0$ для определения $\text{C}$.

$e^0 = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) + C$

$1 = -\frac{1}{2}\cos(0) + C$

$1 = -\frac{1}{2}(1) + C \implies C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Подставляем значение $\text{C}$ в общее решение:

$e^y = -\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2} = \frac{3 - \cos(2x)}{2}$

Чтобы выразить $\text{y}$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

$y = \ln\left(\frac{3 - \cos(2x)}{2}\right)$

Ответ: $y = \ln\left(\frac{3 - \cos(2x)}{2}\right)$

4)

Решим задачу Коши для уравнения $\frac{dy}{dx} = x^2 e^y$ с начальным условием $y = 10$ при $x = 0$.

Разделяем переменные:

$\frac{dy}{e^y} = x^2 dx$

$e^{-y} dy = x^2 dx$

Интегрируем обе части уравнения:

$\int e^{-y} dy = \int x^2 dx$

$-e^{-y} = \frac{x^3}{3} + C$

Используем начальное условие $y(0) = 10$ для нахождения $\text{C}$.

$-e^{-10} = \frac{0^3}{3} + C$

$C = -e^{-10}$

Подставляем $\text{C}$ в общее решение:

$-e^{-y} = \frac{x^3}{3} - e^{-10}$

Умножим на -1:

$e^{-y} = e^{-10} - \frac{x^3}{3}$

Чтобы выразить $\text{y}$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

$-y = \ln\left(e^{-10} - \frac{x^3}{3}\right)$

$y = -\ln\left(e^{-10} - \frac{x^3}{3}\right)$

Ответ: $y = -\ln\left(e^{-10} - \frac{x^3}{3}\right)$