Номер 8.28, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.28. Математическая модель изменения скорости материальной точки описывается уравнением $\frac{dv}{dt} = -\frac{v^2}{10}$. Начальная скорость равна 20 м/с. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию. Сколько времени понадобится для уменьшения скорости на 10%?

Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Исходное дифференциальное уравнение: $ \frac{dv}{dt} = -\frac{v^2}{10} $

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, сгруппировав все члены, содержащие $\text{v}$, с $dv$ и все члены, содержащие $\text{t}$, с $dt$: $ \frac{dv}{v^2} = -\frac{1}{10} dt $

Теперь проинтегрируем обе части уравнения: $ \int \frac{1}{v^2} dv = \int -\frac{1}{10} dt $

Результат интегрирования дает общее решение уравнения: $ -\frac{1}{v} = -\frac{t}{10} + C $ где $\text{C}$ — константа интегрирования.

Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальным условием: в момент времени $t=0$ скорость $v = 20$ м/с. Подставим эти значения в общее решение: $ -\frac{1}{20} = -\frac{0}{10} + C $ $ C = -\frac{1}{20} $

Подставим найденное значение константы $\text{C}$ обратно в уравнение: $ -\frac{1}{v} = -\frac{t}{10} - \frac{1}{20} $

Домножим обе части на $-1$ и приведем правую часть к общему знаменателю: $ \frac{1}{v} = \frac{t}{10} + \frac{1}{20} = \frac{2t + 1}{20} $

Выразим скорость $\text{v}$ как функцию времени $\text{t}$: $ v(t) = \frac{20}{2t + 1} $

Ответ: Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид $v(t) = \frac{20}{2t + 1}$.

Сколько времени понадобится для уменьшения скорости на 10%?

Начальная скорость $v_0 = 20$ м/с. Уменьшение скорости на 10% означает, что конечная скорость $v_1$ составит 90% от начальной: $ v_1 = v_0 - 0.10 \cdot v_0 = 0.9 \cdot v_0 $ $ v_1 = 0.9 \cdot 20 = 18 $ м/с.

Теперь найдем время $\text{t}$, за которое скорость достигнет значения 18 м/с, используя найденное частное решение: $ 18 = \frac{20}{2t + 1} $

Решим полученное уравнение относительно $\text{t}$: $ 18 \cdot (2t + 1) = 20 $ $ 36t + 18 = 20 $ $ 36t = 20 - 18 $ $ 36t = 2 $ $ t = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} $ c.

Ответ: Для уменьшения скорости на 10% понадобится $\frac{1}{18}$ секунды.