Номер 8.31, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.31. Решите дифференциальное уравнение:

1) $(1+x^2) yy' = (1 + y^2);$

2) $y' = xye^{x^2} \ln y;$

3) $y' \operatorname{tg} x = y + 1;$

4) $y' \sin x = (1 - y) \cos x.$

1) Дано дифференциальное уравнение $(1 + x^2) yy' = (1 + y^2)$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Представим $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$(1 + x^2) y \frac{dy}{dx} = (1 + y^2)$

Разделим переменные, перемещая все члены, содержащие $\text{y}$, в левую часть, а члены, содержащие $\text{x}$, в правую:

$\frac{y}{1 + y^2} dy = \frac{1}{1 + x^2} dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{y}{1 + y^2} dy = \int \frac{1}{1 + x^2} dx$

Для левого интеграла выполним замену $u = 1 + y^2$, тогда $du = 2y dy$, откуда $y dy = \frac{du}{2}$.

$\int \frac{1}{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \ln|u| = \frac{1}{2} \ln(1 + y^2)$ (знак модуля не требуется, так как $1 + y^2 > 0$).

Правый интеграл является табличным: $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x)$.

Приравнивая результаты и добавляя произвольную постоянную $C'$, получаем:

$\frac{1}{2} \ln(1 + y^2) = \arctan(x) + C'$

Умножим обе части на 2 и обозначим $2C'$ как новую константу $\text{C}$:

$\ln(1 + y^2) = 2\arctan(x) + C$

Ответ: $\ln(1 + y^2) = 2\arctan(x) + C$.

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = xye^{x^2}\ln y$.

Предполагая, что уравнение имеет вид $y' = (x e^{x^2}) \cdot (y \ln y)$, мы имеем дело с уравнением с разделяющимися переменными. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = x e^{x^2} y \ln y$

Разделим переменные (при условии, что $y>0$ и $\ln y \neq 0$, то есть $y \neq 1$):

$\frac{dy}{y \ln y} = x e^{x^2} dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y \ln y} = \int x e^{x^2} dx$

Для левого интеграла сделаем замену $u = \ln y$, тогда $du = \frac{1}{y} dy$.

$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| = \ln|\ln y|$.

Для правого интеграла сделаем замену $v = x^2$, тогда $dv = 2x dx$, откуда $x dx = \frac{dv}{2}$.

$\int e^v \frac{dv}{2} = \frac{1}{2} \int e^v dv = \frac{1}{2} e^v = \frac{1}{2} e^{x^2}$.

Объединяя результаты и добавляя константу $\text{C}$, получаем общее решение:

$\ln|\ln y| = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

Ответ: $\ln|\ln y| = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$.

3) Дано дифференциальное уравнение $y'\tg x = y + 1$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Представим $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} \tg x = y + 1$

Разделим переменные (при $y \neq -1$ и $\tg x$ определен и не равен нулю):

$\frac{dy}{y + 1} = \frac{dx}{\tg x} = \ctg x dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y + 1} = \int \ctg x dx$

Вычисляем интегралы: левый $\int \frac{dy}{y + 1} = \ln|y + 1|$, правый $\int \ctg x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \ln|\sin x|$.

Приравнивая и добавляя константу в виде $\ln|C|$ для удобства:

$\ln|y + 1| = \ln|\sin x| + \ln|C| = \ln|C \sin x|$

Потенцируем обе части:

$|y + 1| = |C \sin x|$

$y + 1 = \pm C \sin x$

Обозначим $\pm C$ как новую константу $C_1$. Заметим, что $y=-1$ (соответствует $C_1=0$) также является решением уравнения. Таким образом, $C_1$ может быть любым действительным числом. Переобозначим $C_1$ как $\text{C}$:

$y + 1 = C \sin x$

$y = C \sin x - 1$

Ответ: $y = C \cdot \sin(x) - 1$.

4) Дано дифференциальное уравнение $y'\sin x = (1 - y)\cos x$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} \sin x = (1 - y)\cos x$

Разделим переменные (при $y \neq 1$ и $\sin x \neq 0$):

$\frac{dy}{1 - y} = \frac{\cos x}{\sin x} dx = \ctg x dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{1 - y} = \int \ctg x dx$

Вычисляем интегралы: левый $\int \frac{dy}{1 - y} = -\ln|1 - y|$, правый $\int \ctg x dx = \ln|\sin x|$.

Приравнивая и добавляя константу в виде $\ln|C|$:

$-\ln|1 - y| = \ln|\sin x| + \ln|C| = \ln|C \sin x|$

$\ln\left(\frac{1}{|1 - y|}\right) = \ln|C \sin x|$

Потенцируем обе части:

$\frac{1}{|1 - y|} = |C \sin x|$

$|1 - y| = \frac{1}{|C \sin x|} = \frac{1}{|C|} \frac{1}{|\sin x|}$

$1 - y = \pm \frac{1}{C} \frac{1}{\sin x}$

Обозначим константу $\pm \frac{1}{C}$ как $C_1$. Заметим, что $y=1$ (соответствует $C_1=0$) также является решением. Переобозначив $-C_1$ как $\text{C}$, получаем общее решение:

$y = 1 - \frac{C_1}{\sin x} = 1 + \frac{C}{\sin x}$

Ответ: $y = 1 + \frac{C}{\sin x}$.