Номер 8.29, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.29. Покажите, что функция $y = \frac{-2}{x^2+2}$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = xy^2$, удовлетворяющим начальному условию $y(0) = -1$.

Чтобы показать, что функция $y = \frac{-2}{x^2 + 2}$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = xy^2$, удовлетворяющим начальному условию $y(0) = -1$, необходимо выполнить проверку в два этапа.

1. Проверка удовлетворения дифференциальному уравнению

Сначала найдем производную $\frac{dy}{dx}$ от данной функции. Для удобства представим функцию в виде $y = -2(x^2 + 2)^{-1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(-2(x^2 + 2)^{-1}\right) = -2 \cdot (-1)(x^2 + 2)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+2) = 2(x^2 + 2)^{-2} \cdot 2x = \frac{4x}{(x^2 + 2)^2}$.

Это левая часть (ЛЧ) дифференциального уравнения.

Теперь вычислим правую часть (ПЧ) уравнения, $xy^2$, подставив в нее исходную функцию $\text{y}$:

$xy^2 = x \left(\frac{-2}{x^2 + 2}\right)^2 = x \cdot \frac{4}{(x^2 + 2)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 2)^2}$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, видим, что они равны:

ЛЧ = $\frac{4x}{(x^2 + 2)^2}$ и ПЧ = $\frac{4x}{(x^2 + 2)^2}$.

Поскольку ЛЧ = ПЧ, функция является решением дифференциального уравнения.

2. Проверка начального условия

Проверим, выполняется ли начальное условие $y(0) = -1$. Подставим $x=0$ в данную функцию:

$y(0) = \frac{-2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Начальное условие выполняется.

Так как функция $y = \frac{-2}{x^2 + 2}$ удовлетворяет и дифференциальному уравнению, и заданному начальному условию, это доказывает утверждение задачи.

Ответ: Показано, что функция $y = \frac{-2}{x^2 + 2}$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = xy^2$ и удовлетворяет начальному условию $y(0) = -1$.