Номер 8.23, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.23. Найдите общее решение дифференциального уравнения с помощью разделения переменных:

1) $\frac{dy}{dx} = xy;$

2) $\frac{dy}{dx} = x + yx;$

3) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y^2};$

4) $\frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{-y};$

5) $\frac{dy}{dx} = e^{x+y};$

6) $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x(x-1)};$

1) Дано дифференциальное уравнение $ \frac{dy}{dx} = xy $. Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные, перенеся все члены, содержащие $ y $, в левую часть, а все члены, содержащие $ x $, — в правую. Предполагаем, что $ y \neq 0 $.

$ \frac{dy}{y} = x \, dx $

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$ \int \frac{dy}{y} = \int x \, dx $

Вычисляем интегралы:

$ \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1 $, где $ C_1 $ — произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы выразить $ y $, потенцируем обе части:

$ |y| = e^{\frac{x^2}{2} + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{\frac{x^2}{2}} $

Пусть $ C = \pm e^{C_1} $. Поскольку $ C_1 $ — любая действительная постоянная, $ e^{C_1} $ — любая положительная постоянная. Таким образом, $ C $ — любая ненулевая постоянная. Случай $ y=0 $ (который мы исключили вначале) является тривиальным решением уравнения, которое можно получить, положив $ C=0 $. Следовательно, $ C $ может быть любой действительной постоянной.

Общее решение имеет вид:

$ y = C e^{\frac{x^2}{2}} $.

Ответ: $ y = C e^{\frac{x^2}{2}} $

2) Дано уравнение $ \frac{dy}{dx} = x + yx $.

Сначала вынесем $ x $ за скобки в правой части:

$ \frac{dy}{dx} = x(1+y) $

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, предполагая, что $ 1+y \neq 0 $:

$ \frac{dy}{1+y} = x \, dx $

Интегрируем обе части:

$ \int \frac{dy}{1+y} = \int x \, dx $

$ \ln|1+y| = \frac{x^2}{2} + C_1 $

Потенцируем обе части для нахождения $ y $:

$ |1+y| = e^{\frac{x^2}{2} + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{\frac{x^2}{2}} $

Обозначим $ C = \pm e^{C_1} $. Случай $ y=-1 $ является решением и соответствует $ C=0 $.

$ 1+y = C e^{\frac{x^2}{2}} $

$ y = C e^{\frac{x^2}{2}} - 1 $

Ответ: $ y = C e^{\frac{x^2}{2}} - 1 $

3) Дано уравнение $ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y^2} $.

Разделим переменные, умножив обе части на $ y^2 $ и $ dx $:

$ y^2 dy = \sin x \, dx $

Интегрируем обе части уравнения:

$ \int y^2 dy = \int \sin x \, dx $

Вычисляем интегралы:

$ \frac{y^3}{3} = -\cos x + C_1 $

Умножим на 3 и обозначим $ 3C_1 $ как новую константу $ C $:

$ y^3 = -3\cos x + C $

Извлекаем кубический корень, чтобы найти $ y $:

$ y = \sqrt[3]{C - 3\cos x} $

Ответ: $ y = \sqrt[3]{C - 3\cos x} $

4) Дано уравнение $ \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{-y} $.

Перепишем $ e^{-y} $ как $ \frac{1}{e^y} $:

$ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{e^y} $

Разделим переменные:

$ e^y dy = 3x^2 dx $

Интегрируем обе части:

$ \int e^y dy = \int 3x^2 dx $

$ e^y = x^3 + C $

Чтобы найти $ y $, возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

$ y = \ln(x^3 + C) $

Ответ: $ y = \ln(x^3 + C) $

5) Дано уравнение $ \frac{dy}{dx} = e^{x+y} $.

Используя свойство степеней, перепишем правую часть:

$ \frac{dy}{dx} = e^x e^y $

Разделим переменные:

$ \frac{dy}{e^y} = e^x dx $

$ e^{-y} dy = e^x dx $

Интегрируем обе части:

$ \int e^{-y} dy = \int e^x dx $

$ -e^{-y} = e^x + C_1 $

Умножим на -1 и переобозначим константу $ -C_1 $ как $ C $:

$ e^{-y} = -e^x + C $

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

$ -y = \ln(C - e^x) $

$ y = -\ln(C - e^x) $

Ответ: $ y = -\ln(C - e^x) $

6) Дано уравнение $ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x(x-1)} $.

Разделим переменные, предполагая, что $ y \neq 0 $:

$ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x(x-1)} $

Интегрируем обе части. Для правой части используем метод разложения на простейшие дроби:

$ \frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} $

Приводя к общему знаменателю, получаем $ 1 = A(x-1) + Bx $.

При $ x=0 $, $ 1 = A(-1) \implies A = -1 $.

При $ x=1 $, $ 1 = B(1) \implies B = 1 $.

Таким образом, $ \frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} $.

Теперь интегрируем:

$ \int \frac{dy}{y} = \int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}\right) dx $

$ \ln|y| = \ln|x-1| - \ln|x| + C_1 = \ln\left|\frac{x-1}{x}\right| + C_1 $

Потенцируем обе части:

$ |y| = e^{\ln\left|\frac{x-1}{x}\right| + C_1} = e^{C_1} \cdot \left|\frac{x-1}{x}\right| $

Заменяя $ \pm e^{C_1} $ на константу $ C $ и учитывая решение $ y=0 $, получаем общее решение:

$ y = C \frac{x-1}{x} $

Ответ: $ y = C \frac{x-1}{x} $