Номер 8.18, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.18. Напишите общее уравнение кривых, для которых тангенс угла между любой касательной и положительным направлением оси $\text{Ox}$ равен $\frac{2}{3}$ абсциссы точки касания.

Пусть искомое уравнение кривой имеет вид $y = f(x)$.

Из геометрического смысла производной известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Согласно условию задачи, тангенс угла между любой касательной и положительным направлением оси Ox равен $\frac{2}{3}$ абсциссы точки касания. Если абсцисса точки касания равна $\text{x}$, то это условие можно записать в виде дифференциального уравнения:

$y' = \frac{2}{3}x$

или

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x$

Чтобы найти общее уравнение кривых, необходимо решить это дифференциальное уравнение, то есть найти функцию $y(x)$. Для этого проинтегрируем обе части уравнения по $\text{x}$:

$y = \int \frac{2}{3}x \, dx$

Вынесем константу за знак интеграла:

$y = \frac{2}{3} \int x \, dx$

Используя табличный интеграл $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + C$

После упрощения получаем общее уравнение семейства кривых:

$y = \frac{x^2}{3} + C$

где $\text{C}$ — произвольная постоянная. Это уравнение описывает семейство парабол.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x^2 + C$.