Номер 8.12, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.12. Считая данную функцию решением указанного дифференциального уравнения, найдите значение k:

1) $y = kx + 1, y' = 2$;

2) $x = kt^2, x' = 12t$;

3) $y = e^{kx}, y' = y$;

4) $y = e^{kx}, y' = ky$;

5) $u = x^3, u' = kx^2$;

6) $y = \frac{1}{x+1}, y' = ky^2$.

1) Рассматриваем функцию $y = kx + 1$ и дифференциальное уравнение $y' = 2$.

Чтобы данная функция была решением дифференциального уравнения, она должна обращать это уравнение в верное тождество. Сначала найдем производную функции $\text{y}$ по переменной $\text{x}$.

Производная от $y = kx + 1$ равна: $y' = \frac{d}{dx}(kx + 1) = k$.

Теперь подставим найденное выражение для производной $y' = k$ в дифференциальное уравнение $y' = 2$.

Получаем равенство: $k = 2$.

Ответ: $k = 2$.

2) Рассматриваем функцию $x = kt^2$ и дифференциальное уравнение $x' = 12t$.

Найдем производную функции $\text{x}$ по переменной $\text{t}$.

$x' = \frac{d}{dt}(kt^2) = k \cdot (2t) = 2kt$.

Подставим полученное выражение для производной $x'$ в дифференциальное уравнение $x' = 12t$.

Получаем равенство: $2kt = 12t$.

Для того чтобы это равенство было верным для любого значения $\text{t}$ (при $t \neq 0$), необходимо, чтобы коэффициенты при $\text{t}$ были равны. Отсюда следует, что $2k = 12$.

Решая это уравнение относительно $\text{k}$, находим: $k = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: $k = 6$.

3) Рассматриваем функцию $y = e^{kx}$ и дифференциальное уравнение $y' = y$.

Найдем производную функции $\text{y}$ по переменной $\text{x}$, используя правило дифференцирования сложной функции.

$y' = \frac{d}{dx}(e^{kx}) = e^{kx} \cdot \frac{d}{dx}(kx) = e^{kx} \cdot k = ke^{kx}$.

Теперь подставим выражения для $\text{y}$ и $y'$ в дифференциальное уравнение $y' = y$.

Получаем равенство: $ke^{kx} = e^{kx}$.

Поскольку показательная функция $e^{kx}$ никогда не обращается в ноль, мы можем разделить обе части уравнения на $e^{kx}$.

В результате получаем: $k = 1$.

Ответ: $k = 1$.

4) Рассматриваем функцию $y = e^{kx}$ и дифференциальное уравнение $y' = ky$.

Найдем производную функции $\text{y}$ по переменной $\text{x}$.

$y' = \frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx}$.

Теперь подставим найденную производную $y'$ и саму функцию $\text{y}$ в дифференциальное уравнение $y' = ky$.

Левая часть уравнения: $y' = ke^{kx}$.

Правая часть уравнения: $ky = k \cdot (e^{kx}) = ke^{kx}$.

Получаем тождество: $ke^{kx} = ke^{kx}$.

Это равенство является верным для любого значения $\text{k}$ и любого $\text{x}$. Это означает, что функция $y = e^{kx}$ является решением дифференциального уравнения $y' = ky$ при любом значении константы $\text{k}$.

Ответ: $\text{k}$ — любое действительное число.

5) Рассматриваем функцию $u = x^3$ и дифференциальное уравнение $u' = kx^2$.

Найдем производную функции $\text{u}$ по переменной $\text{x}$.

$u' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.

Подставим полученное выражение для производной $u'$ в дифференциальное уравнение $u' = kx^2$.

Получаем равенство: $3x^2 = kx^2$.

Для того чтобы это равенство выполнялось для любого $\text{x}$, коэффициенты при $x^2$ в обеих частях должны быть равны.

Отсюда следует, что $k = 3$.

Ответ: $k = 3$.

6) Рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x+1}$ и дифференциальное уравнение $y' = ky^2$.

Найдем производную функции $\text{y}$. Для удобства представим функцию в виде $y = (x+1)^{-1}$.

$y' = \frac{d}{dx}((x+1)^{-1}) = -1 \cdot (x+1)^{-1-1} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = -(x+1)^{-2} = -\frac{1}{(x+1)^2}$.

Теперь подставим выражения для $\text{y}$ и $y'$ в дифференциальное уравнение $y' = ky^2$.

$-\frac{1}{(x+1)^2} = k \left(\frac{1}{x+1}\right)^2$.

Упростим правую часть: $-\frac{1}{(x+1)^2} = k \frac{1}{(x+1)^2}$.

При $x \neq -1$, мы можем умножить обе части на $(x+1)^2$.

Получаем: $-1 = k$.

Ответ: $k = -1$.