Номер 8.9, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.9. Найдите общее решение дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - x + 1$ с помощью интегрирования обеих частей уравнения. Найдите частное решение уравнения, удовлетворяющее такому условию: $y = 4$ при $x = 1$.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

Задано дифференциальное уравнение: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - x + 1$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Для нахождения общего решения перепишем его в виде $dy = (3x^2 - x + 1) dx$ и проинтегрируем обе части: $\int dy = \int (3x^2 - x + 1) dx$. Интеграл в левой части равен $\text{y}$. Для правой части используем свойство линейности интеграла и формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $y = \int 3x^2 dx - \int x dx + \int 1 dx$ $y = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C$ $y = x^3 - \frac{x^2}{2} + x + C$. Полученное выражение является общим решением дифференциального уравнения, где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Ответ: $y = x^3 - \frac{x^2}{2} + x + C$.

Найдите частное решение уравнения, удовлетворяющее такому условию: y = 4 при x = 1

Для нахождения частного решения используем начальное условие $y = 4$ при $x = 1$. Подставим эти значения в полученное общее решение, чтобы найти константу $\text{C}$: $4 = (1)^3 - \frac{(1)^2}{2} + 1 + C$. Выполним вычисления: $4 = 1 - \frac{1}{2} + 1 + C$ $4 = 2 - \frac{1}{2} + C$ $4 = \frac{3}{2} + C$. Отсюда находим значение $\text{C}$: $C = 4 - \frac{3}{2} = \frac{8}{2} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$. Теперь подставим найденное значение $C = \frac{5}{2}$ обратно в общее решение: $y = x^3 - \frac{x^2}{2} + x + \frac{5}{2}$. Это и есть искомое частное решение.

Ответ: $y = x^3 - \frac{x^2}{2} + x + \frac{5}{2}$.