Номер 8.2, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.2. Проверьте, что функция $f(x)$ является решением указанного дифференциального уравнения:

1) $f(x) = e^{2x}$, $y' = 2y;$

2) $f(x) = e^{-x} + 1$, $y' + y = 1;$

3) $f(x) = e^{-3x} + e^x$, $y' + 3y = 4e^x;$

4) $f(x) = \frac{1}{x+1}$, $y' + y^2 = 0.$

Чтобы проверить, является ли функция $f(x)$ решением дифференциального уравнения, необходимо найти производную данной функции, а затем подставить функцию и её производную в уравнение. Если получится верное тождество, то функция является решением.

1) Дана функция $y = f(x) = e^{2x}$ и дифференциальное уравнение $y' = 2y$.

Находим производную функции:

$y' = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Подставляем $\text{y}$ и $y'$ в уравнение:

Левая часть: $y' = 2e^{2x}$.

Правая часть: $2y = 2 \cdot e^{2x}$.

Так как левая часть равна правой ($2e^{2x} = 2e^{2x}$), тождество выполняется.

Ответ: Функция $f(x) = e^{2x}$ является решением дифференциального уравнения $y' = 2y$.

2) Дана функция $y = f(x) = e^{-x} + 1$ и дифференциальное уравнение $y' + y = 1$.

Находим производную функции:

$y' = (e^{-x} + 1)' = (e^{-x})' + (1)' = e^{-x} \cdot (-1) + 0 = -e^{-x}$.

Подставляем $\text{y}$ и $y'$ в уравнение:

$y' + y = (-e^{-x}) + (e^{-x} + 1) = -e^{-x} + e^{-x} + 1 = 1$.

Сравниваем с правой частью уравнения:

$1 = 1$.

Тождество выполняется.

Ответ: Функция $f(x) = e^{-x} + 1$ является решением дифференциального уравнения $y' + y = 1$.

3) Дана функция $y = f(x) = e^{-3x} + e^x$ и дифференциальное уравнение $y' + 3y = 4e^x$.

Находим производную функции:

$y' = (e^{-3x} + e^x)' = (e^{-3x})' + (e^x)' = e^{-3x} \cdot (-3) + e^x = -3e^{-3x} + e^x$.

Подставляем $\text{y}$ и $y'$ в уравнение:

$y' + 3y = (-3e^{-3x} + e^x) + 3(e^{-3x} + e^x) = -3e^{-3x} + e^x + 3e^{-3x} + 3e^x$.

Приводим подобные слагаемые:

$(-3e^{-3x} + 3e^{-3x}) + (e^x + 3e^x) = 0 + 4e^x = 4e^x$.

Сравниваем с правой частью уравнения:

$4e^x = 4e^x$.

Тождество выполняется.

Ответ: Функция $f(x) = e^{-3x} + e^x$ является решением дифференциального уравнения $y' + 3y = 4e^x$.

4) Дана функция $y = f(x) = \frac{1}{x+1}$ и дифференциальное уравнение $y' + y^2 = 0$.

Находим производную функции, представив её как $y = (x+1)^{-1}$:

$y' = ((x+1)^{-1})' = -1 \cdot (x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -(x+1)^{-2} = -\frac{1}{(x+1)^2}$.

Подставляем $\text{y}$ и $y'$ в уравнение:

$y' + y^2 = \left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right) + \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 = -\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+1)^2} = 0$.

Сравниваем с правой частью уравнения:

$0 = 0$.

Тождество выполняется.

Ответ: Функция $f(x) = \frac{1}{x+1}$ является решением дифференциального уравнения $y' + y^2 = 0$.