Номер 7.125, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.125. Найдите область значений функции $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}} x^2$.

Чтобы найти область значений функции $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}} x^2$, необходимо определить, какие значения может принимать $\text{y}$ при всех допустимых значениях $\text{x}$.

1. Сначала найдём область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. В данном случае аргумент равен $x^2$. Требуется выполнение условия $x^2 > 0$. Это неравенство справедливо для всех действительных чисел $\text{x}$, за исключением $x = 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Теперь определим, какое множество значений принимает выражение $x^2$ при $x \in D(y)$. Поскольку $\text{x}$ может быть любым ненулевым действительным числом, $x^2$ будет принимать все положительные действительные значения. Пусть $t = x^2$. Тогда множество значений для $\text{t}$ — это интервал $(0; +\infty)$. Функцию можно переписать как $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}} t$, где $t \in (0; +\infty)$.

3. Найдём область значений логарифмической части, то есть выражения $\log_{\frac{1}{3}} t$. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей на всей своей области определения. Областью значений для функции $\log_a t$ (при $0 < a < 1$ или $a > 1$) является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Действительно, когда $t \to 0^+$, то $\log_{\frac{1}{3}} t \to +\infty$. Когда $t \to +\infty$, то $\log_{\frac{1}{3}} t \to -\infty$. Следовательно, выражение $\log_{\frac{1}{3}} x^2$ может принимать любое значение из множества действительных чисел $\mathbb{R}$.

4. Вернёмся к исходной функции $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}} x^2$. Пусть $z = \log_{\frac{1}{3}} x^2$. Мы установили, что $\text{z}$ может принимать любое значение из интервала $(-\infty; +\infty)$. Тогда $y = 3 - z$. Если $\text{z}$ пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, то и выражение $3 - z$ также пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, область значений функции $\text{y}$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.