Номер 8.4, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.4. Ускорение тонущего в жидкости камня описывается уравнением $ \frac{dv}{dt} = 4 - v $. Покажите, что функция $ v(t) = Ae^{-t} + 4 $ удовлетворяет дифференциальному уравнению. Найдите значение A, если известно, что начальная скорость камня равна 8 м/с.

Покажите, что функция $v(t) = Ae^{-t} + 4$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

Дано дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dt} = 4 - v$ и функция $v(t) = Ae^{-t} + 4$. Чтобы проверить, является ли функция решением, нужно найти ее производную и подставить саму функцию и ее производную в исходное уравнение.

1. Найдем производную от функции $v(t)$ по времени $\text{t}$. Это будет левая часть уравнения.

$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(Ae^{-t} + 4)$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$\frac{dv}{dt} = A \cdot \frac{d}{dt}(e^{-t}) + \frac{d}{dt}(4) = A \cdot (-e^{-t}) + 0 = -Ae^{-t}$

2. Теперь рассмотрим правую часть уравнения, $4 - v$, и подставим в нее выражение для $v(t)$:

$4 - v = 4 - (Ae^{-t} + 4)$

$4 - v = 4 - Ae^{-t} - 4 = -Ae^{-t}$

3. Сравним полученные выражения для левой и правой частей уравнения:

Левая часть: $\frac{dv}{dt} = -Ae^{-t}$

Правая часть: $4 - v = -Ae^{-t}$

Так как левая и правая части равны, $-Ae^{-t} = -Ae^{-t}$, то функция $v(t) = Ae^{-t} + 4$ действительно является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ: Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению, что и требовалось доказать.

Найдите значение А, если известно, что начальная скорость камня равна 8 м/с

Условие "начальная скорость камня равна 8 м/с" означает, что в момент времени $t=0$ скорость $\text{v}$ равна 8. Математически это записывается как начальное условие $v(0) = 8$.

Подставим это начальное условие в общее решение $v(t) = Ae^{-t} + 4$:

$v(0) = Ae^{-0} + 4$

$8 = A \cdot e^0 + 4$

Поскольку любое число в степени ноль равно единице, $e^0 = 1$. Уравнение принимает вид:

$8 = A \cdot 1 + 4$

$8 = A + 4$

Теперь решим это простое линейное уравнение относительно $\text{A}$:

$A = 8 - 4$

$A = 4$

Ответ: $A = 4$.