Номер 8.6, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.6. Покажите, что функция $v = 20(1 - e^{-0,5t})$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dv}{dt} = 10 - 0,5v$. Найдите значение $\text{v}$ при $t = 0$. Как влияют большие значения $\text{t}$ на функцию $\text{v}$?

Покажите, что функция $v = 20(1 - e^{-0,5t})$ является решением дифференциального уравнения $\frac{dv}{dt} = 10 - 0,5v$.

Чтобы доказать, что данная функция является решением дифференциального уравнения, нужно найти ее производную и подставить саму функцию и ее производную в уравнение. Если получится верное равенство, то функция является решением.

1. Найдем производную функции $v(t) = 20(1 - e^{-0,5t})$. Раскроем скобки: $v(t) = 20 - 20e^{-0,5t}$.

Теперь найдем производную по $\text{t}$:

$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(20 - 20e^{-0,5t}) = \frac{d}{dt}(20) - \frac{d}{dt}(20e^{-0,5t})$.

Производная константы равна нулю. Для второго слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции: $\frac{dv}{dt} = 0 - 20 \cdot e^{-0,5t} \cdot (-0,5) = 10e^{-0,5t}$.

Это левая часть исходного дифференциального уравнения.

2. Теперь подставим выражение для $\text{v}$ в правую часть уравнения, $10 - 0,5v$:

$10 - 0,5v = 10 - 0,5 \cdot [20(1 - e^{-0,5t})]$.

Раскроем скобки:

$10 - 0,5 \cdot 20 + 0,5 \cdot 20e^{-0,5t} = 10 - 10 + 10e^{-0,5t} = 10e^{-0,5t}$.

Это правая часть уравнения.

3. Сравним левую и правую части:

Левая часть: $\frac{dv}{dt} = 10e^{-0,5t}$.

Правая часть: $10 - 0,5v = 10e^{-0,5t}$.

Поскольку левая и правая части равны ($10e^{-0,5t} = 10e^{-0,5t}$), данная функция является решением дифференциального уравнения.

Ответ: Функция является решением, так как подстановка функции и ее производной в уравнение приводит к тождеству $10e^{-0,5t} = 10e^{-0,5t}$.

Найдите значение $\text{v}$ при $t = 0$.

Чтобы найти значение функции $\text{v}$ при $t = 0$, необходимо подставить $t=0$ в исходное выражение для функции $v(t) = 20(1 - e^{-0,5t})$:

$v(0) = 20(1 - e^{-0,5 \cdot 0}) = 20(1 - e^0)$.

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то $e^0 = 1$.

$v(0) = 20(1 - 1) = 20 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $v(0) = 0$.

Как влияют большие значения $\text{t}$ на функцию $\text{v}$?

Чтобы проанализировать поведение функции при больших значениях $\text{t}$, необходимо найти предел функции $v(t)$ при $\text{t}$, стремящемся к бесконечности ($t \to \infty$).

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \lim_{t \to \infty} 20(1 - e^{-0,5t})$.

Рассмотрим предел выражения $e^{-0,5t}$ при $t \to \infty$. Это выражение можно записать в виде $\frac{1}{e^{0,5t}}$.

Когда $\text{t}$ стремится к бесконечности, показатель степени $0,5t$ также стремится к бесконечности. Следовательно, знаменатель $e^{0,5t}$ стремится к бесконечности, а вся дробь $\frac{1}{e^{0,5t}}$ стремится к нулю.

$\lim_{t \to \infty} e^{-0,5t} = 0$.

Теперь подставим найденное значение предела обратно в выражение для $v(t)$:

$\lim_{t \to \infty} v(t) = 20(1 - 0) = 20$.

Это означает, что при увеличении $\text{t}$ значение функции $\text{v}$ асимптотически приближается к 20.

Ответ: При больших значениях $\text{t}$ значение функции $\text{v}$ стремится к 20.