Номер 7.123, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.123. Докажите неравенство $ \frac{1}{\log_2 \pi} + \frac{1}{\log_5 \pi} > 2 $.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойством логарифма о переходе к новому основанию, а именно формулой $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $.

Применив это свойство к каждому слагаемому в левой части неравенства, получим:

$ \frac{1}{\log_2 \pi} + \frac{1}{\log_5 \pi} = \log_{\pi} 2 + \log_{\pi} 5 $

Далее, используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_c x + \log_c y = \log_c (xy) $, получаем:

$ \log_{\pi} 2 + \log_{\pi} 5 = \log_{\pi} (2 \cdot 5) = \log_{\pi} 10 $

Таким образом, исходное неравенство $ \frac{1}{\log_2 \pi} + \frac{1}{\log_5 \pi} > 2 $ равносильно неравенству:

$ \log_{\pi} 10 > 2 $

По определению логарифма, данное неравенство можно переписать как $ 10 > \pi^2 $. Это преобразование является равносильным, поскольку основание логарифма $ \pi \approx 3.14159... $, что больше 1, и, следовательно, логарифмическая функция $ y = \log_{\pi} x $ является возрастающей.

Осталось доказать верность неравенства $ 10 > \pi^2 $. Для этого воспользуемся известным приближением для числа $ \pi $. Мы знаем, что $ \pi < 3.15 $.

Возведем обе части этого верного неравенства в квадрат:

$ \pi^2 < 3.15^2 $

Вычислим значение $ 3.15^2 $:

$ 3.15^2 = 9.9225 $

Поскольку $ \pi^2 < 9.9225 $ и $ 9.9225 < 10 $, мы можем заключить, что $ \pi^2 < 10 $.

Так как неравенство $ 10 > \pi^2 $ истинно, то и равносильное ему неравенство $ \log_{\pi} 10 > 2 $ также истинно. А это, в свою очередь, доказывает справедливость исходного неравенства.

Ответ: Неравенство доказано.