Номер 8.15, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.15. Составьте дифференциальное уравнение первого порядка по его общему решению:

1) $y^2 = 2Cx$;

2) $y = C_1x + C_2$;

3) $y = Ce^x$;

4) $x^2 + y^2 = C^2$.

1) Дано общее решение $y^2 = 2Cx$. Чтобы найти дифференциальное уравнение, нужно продифференцировать это выражение по $\text{x}$ и исключить константу $\text{C}$. Дифференцируем обе части уравнения по $\text{x}$, считая $\text{y}$ функцией от $\text{x}$: $\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(2Cx)$ $2y \cdot y' = 2C$ Отсюда выражаем константу: $C = yy'$. Теперь подставим найденное выражение для $\text{C}$ в исходное уравнение $y^2 = 2Cx$: $y^2 = 2(yy')x$ $y^2 = 2xyy'$ При $y \neq 0$ можно разделить обе части на $\text{y}$: $y = 2xy'$ Это и есть искомое дифференциальное уравнение первого порядка.

Ответ: $y = 2xy'$.

2) Дано уравнение $y = C_1x + C_2$. Это семейство функций содержит две независимые произвольные постоянные, $C_1$ и $C_2$. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит только одну произвольную постоянную. Данное семейство функций (семейство всех прямых на плоскости) является общим решением дифференциального уравнения второго порядка. Чтобы его найти, нужно продифференцировать исходное уравнение дважды: Первая производная: $y' = C_1$. Вторая производная: $y'' = 0$. Уравнение $y'' = 0$ является дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет данное семейство функций. Составить одно дифференциальное уравнение первого порядка для всего семейства $y = C_1x + C_2$ невозможно, так как для исключения двух констант требуется два последовательных дифференцирования.

Ответ: Для данного семейства функций, содержащего две независимые константы, невозможно составить одно дифференциальное уравнение первого порядка. Оно является общим решением уравнения второго порядка $y'' = 0$.

3) Дано общее решение $y = Ce^x$. Продифференцируем это уравнение по $\text{x}$: $y' = \frac{d}{dx}(Ce^x) = C e^x$. Мы получили систему из двух уравнений: 1. $y = Ce^x$ 2. $y' = Ce^x$ Правые части этих уравнений совпадают, следовательно, левые части также равны: $y' = y$ Константа $\text{C}$ при этом исключается. Это и есть искомое дифференциальное уравнение.

Ответ: $y' = y$.

4) Дано общее решение $x^2 + y^2 = C^2$. Это семейство окружностей с центром в начале координат. Продифференцируем обе части уравнения по $\text{x}$, помня, что $\text{y}$ является функцией от $\text{x}$, а $C^2$ — константа: $\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(C^2)$ $2x + 2y \cdot y' = 0$ Разделим обе части уравнения на 2: $x + yy' = 0$. В полученном уравнении произвольная постоянная $\text{C}$ уже отсутствует. Таким образом, это и есть искомое дифференциальное уравнение первого порядка.

Ответ: $x + yy' = 0$.