Номер 8.17, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.17. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) $y' = e^{-3x}$;

2) $y' = \frac{x}{2} + \operatorname{tg}x$;

3) $e^{y'} = 1$;

4) $\cos y' = 1$.

1) Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$ и получим: $\frac{dy}{dx} = e^{-3x}$. Разделим переменные, умножив обе части на $dx$: $dy = e^{-3x} dx$. Теперь проинтегрируем обе части уравнения: $\int dy = \int e^{-3x} dx$. Интеграл в левой части равен $\text{y}$. Для вычисления интеграла в правой части воспользуемся заменой $u = -3x$, тогда $du = -3dx$ и $dx = -\frac{1}{3}du$. $y = \int e^u \left(-\frac{1}{3}\right) du = -\frac{1}{3} \int e^u du = -\frac{1}{3} e^u + C$. Возвращаясь к переменной $\text{x}$, получаем общее решение: $y = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Ответ: $y = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$.

2) Это уравнение решается прямым интегрированием. Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} + \operatorname{tg}x$. Чтобы найти $\text{y}$, проинтегрируем правую часть по $\text{x}$: $y = \int \left(\frac{x}{2} + \operatorname{tg}x\right) dx = \int \frac{x}{2} dx + \int \operatorname{tg}x dx$. Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первый интеграл: $\int \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}$. Второй интеграл: $\int \operatorname{tg}x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$. Сделаем замену $u = \cos x$, тогда $du = -\sin x dx$. $\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int -\frac{1}{u} du = -\ln|u| = -\ln|\cos x|$. Суммируя результаты и добавляя константу интегрирования $\text{C}$, получаем общее решение: $y = \frac{x^2}{4} - \ln|\cos x| + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Ответ: $y = \frac{x^2}{4} - \ln|\cos x| + C$.

3) Сначала выразим $y'$ из уравнения $e^{y'} = 1$. Для этого прологарифмируем обе части по основанию $\text{e}$: $\ln(e^{y'}) = \ln(1)$. Используя свойство логарифма $\ln(e^a) = a$ и зная, что $\ln(1) = 0$, получаем: $y' = 0$. Теперь решаем простейшее дифференциальное уравнение $y' = 0$, или $\frac{dy}{dx} = 0$. Интегрируя по $\text{x}$, находим: $y = \int 0 \, dx = C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная. Это означает, что решением является любая константа.

Ответ: $y = C$.

4) Выразим $y'$ из уравнения $\cos(y') = 1$. Функция косинуса равна 1, когда ее аргумент является четным кратным $\pi$, то есть равен $2\pi k$ для любого целого числа $\text{k}$. Следовательно, $y' = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = 2\pi k$. Для нахождения $\text{y}$ проинтегрируем обе части по $\text{x}$: $\int dy = \int 2\pi k \, dx$. Поскольку $2\pi k$ является константой для каждого фиксированного $\text{k}$, получаем: $y = (2\pi k)x + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная интегрирования, а $\text{k}$ — любое целое число. Это семейство прямых с угловыми коэффициентами, кратными $2\pi$.

Ответ: $y = 2\pi kx + C, k \in \mathbb{Z}$.