Номер 8.21, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.21. Среди следующих дифференциальных уравнений укажите уравнения с разделяющимися переменными:

1) $y' = xy^2;$

2) $u' + x^2u = e^x;$

3) $y' = \frac{1}{x-1};$

4) $y' = \frac{x^2}{x^2-y^2}.$

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде $y' = g(x) \cdot h(y)$, где $y' = \frac{dy}{dx}$. В этом случае переменные можно "разделить", перенеся все члены с $\text{y}$ в одну сторону уравнения, а все члены с $\text{x}$ — в другую, чтобы получить вид $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$. Проанализируем каждое из предложенных уравнений.

1) $y' = xy^2$

Это уравнение можно представить в виде произведения функции, зависящей только от $\text{x}$, и функции, зависящей только от $\text{y}$.

Здесь $g(x) = x$ и $h(y) = y^2$.

Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Его можно записать в виде $\frac{dy}{dx} = xy^2$ и после разделения переменных получить $\frac{dy}{y^2} = x dx$.

Ответ: уравнение с разделяющимися переменными.

2) $u' + x^2u = e^{x^2}$

Выразим производную $u'$ (где $u' = \frac{du}{dx}$):

$u' = e^{x^2} - x^2u$.

Правую часть уравнения, $e^{x^2} - x^2u$, невозможно представить в виде произведения функции от $\text{x}$ на функцию от $\text{u}$. Наличие разности, где уменьшаемое зависит только от $\text{x}$ ($e^{x^2}$), а вычитаемое — от произведения $\text{x}$ и $\text{u}$ ($x^2u$), не позволяет разделить переменные.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, но не уравнение с разделяющимися переменными.

Ответ: не является уравнением с разделяющимися переменными.

3) $y' = \frac{1}{x-1}$

Правая часть этого уравнения является функцией, зависящей только от переменной $\text{x}$.

Это частный случай уравнения с разделяющимися переменными, где можно положить $g(x) = \frac{1}{x-1}$ и $h(y) = 1$.

Уравнение можно записать как $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1}$ и после разделения переменных получить $dy = \frac{1}{x-1} dx$.

Ответ: уравнение с разделяющимися переменными.

4) $y' = \frac{x^2}{x^2 - y^2}$

Правую часть уравнения $\frac{x^2}{x^2 - y^2}$ нельзя представить в виде произведения функции только от $\text{x}$ и функции только от $\text{y}$ из-за наличия разности $x^2 - y^2$ в знаменателе.

Если мы попытаемся преобразовать выражение, например, разделив числитель и знаменатель на $x^2$, получим: $y' = \frac{1}{1 - (y/x)^2}$.

Правая часть зависит от отношения $y/x$, что является признаком однородного дифференциального уравнения. Такие уравнения решаются с помощью замены переменной (например, $v = y/x$), но в исходном виде они не являются уравнениями с разделяющимися переменными.

Ответ: не является уравнением с разделяющимися переменными.