Номер 8.27, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.27. Вскипевшая вода в течение 10 мин остыла от 100°С до 60°C. Найдите время, через которое температура воды остынет до 25°, если температура окружающей среды равна 20°С.

8.27. Процесс остывания тела описывается законом Ньютона-Рихмана, согласно которому скорость остывания пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Математически это выражается дифференциальным уравнением:

$ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{ср}) $

где $T(t)$ – температура тела в момент времени $\text{t}$, $T_{ср}$ – температура окружающей среды, а $\text{k}$ – постоянный коэффициент остывания.

Решением этого уравнения является функция, описывающая зависимость температуры от времени:

$ T(t) = T_{ср} + (T_0 - T_{ср})e^{-kt} $

где $T_0$ – начальная температура тела при $t=0$.

В нашей задаче даны следующие значения:

Начальная температура воды: $T_0 = 100o C$.

Температура окружающей среды: $T_{ср} = 20o C$.

Через время $t_1 = 10$ мин температура воды стала $T(10) = 60o C$.

Требуется найти время $t_2$, за которое вода остынет до температуры $T(t_2) = 25o C$.

Шаг 1. Определение параметра остывания.

Сначала используем данные о первом этапе остывания (за 10 минут) для нахождения параметра, характеризующего скорость остывания. Подставим известные значения в формулу:

$ 60 = 20 + (100 - 20)e^{-k \cdot 10} $

Упростим уравнение:

$ 60 - 20 = 80 \cdot e^{-10k} $

$ 40 = 80 \cdot e^{-10k} $

$ e^{-10k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} $

Нам не обязательно вычислять сам коэффициент $\text{k}$. Мы можем использовать полученное выражение $e^{-10k} = 1/2$. Выразим $e^{-kt}$ через него: $e^{-kt} = (e^{-10k})^{t/10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.

Теперь формула остывания для данной задачи выглядит так:

$ T(t) = 20 + 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} $

Шаг 2. Расчет искомого времени.

Теперь найдем время $t_2$, когда температура воды достигнет $25o C$. Подставим $T(t_2) = 25$ в выведенную формулу:

$ 25 = 20 + 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t_2/10} $

Решим это уравнение относительно $t_2$:

$ 25 - 20 = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t_2/10} $

$ 5 = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t_2/10} $

$ \frac{5}{80} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t_2/10} $

$ \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t_2/10} $

Так как $ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 $, мы можем приравнять показатели степени:

$ \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t_2/10} $

$ 4 = \frac{t_2}{10} $

Отсюда находим $t_2$:

$ t_2 = 4 \cdot 10 = 40 $ мин.

Таким образом, вода остынет до 25o C за 40 минут с момента начала остывания.

Ответ: 40 минут.