Номер 8.30, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.30. Движение материальной точки в жидкости описывается дифференциальным уравнением $\frac{dv}{dt} = -0,2 (v + v^2)$. Найдите частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию $v(0) = 40$.

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Исходное уравнение:

$$ \frac{dv}{dt} = -0,2(v + v^2) $$

Запишем его в виде:

$$ \frac{dv}{dt} = -0,2v(1 + v) $$

Теперь разделим переменные, перенеся все, что содержит $\text{v}$, в левую часть, а все, что содержит $\text{t}$, — в правую.

$$ \frac{dv}{v(1 + v)} = -0,2 dt $$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$$ \int \frac{dv}{v(1 + v)} = \int -0,2 dt $$

Для вычисления интеграла в левой части используем метод разложения на простейшие дроби. Представим подынтегральное выражение в виде суммы:

$$ \frac{1}{v(1 + v)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{1 + v} $$

Приводя к общему знаменателю, получаем тождество:

$$ 1 = A(1 + v) + Bv $$

Чтобы найти коэффициенты $\text{A}$ и $\text{B}$, подставим удобные значения $\text{v}$:

• При $v = 0$: $1 = A(1+0) + B \cdot 0 \implies A = 1$.
• При $v = -1$: $1 = A(1-1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1$.

Таким образом, интеграл слева принимает вид:

$$ \int \left(\frac{1}{v} - \frac{1}{1 + v}\right) dv = \ln|v| - \ln|1 + v| = \ln\left|\frac{v}{1 + v}\right| $$

Интеграл справа равен:

$$ \int -0,2 dt = -0,2t + C $$

где $\text{C}$ — константа интегрирования. Приравнивая результаты, получаем общее решение в неявном виде:

$$ \ln\left|\frac{v}{1 + v}\right| = -0,2t + C $$

Теперь найдем константу $\text{C}$, используя начальное условие $v(0) = 40$. Подставим $t = 0$ и $v = 40$ в общее решение. Так как $v = 40 > 0$, знак модуля можно опустить.

$$ \ln\left(\frac{40}{1 + 40}\right) = -0,2 \cdot 0 + C $$

$$ C = \ln\left(\frac{40}{41}\right) $$

Подставим найденное значение $\text{C}$ обратно в общее решение:

$$ \ln\left(\frac{v}{1 + v}\right) = -0,2t + \ln\left(\frac{40}{41}\right) $$

Теперь выразим $\text{v}$ как функцию от $\text{t}$. Для этого сначала потенцируем обе части уравнения (т.е. представим их как степени числа $\text{e}$):

$$ \frac{v}{1 + v} = e^{-0,2t + \ln(40/41)} = e^{-0,2t} \cdot e^{\ln(40/41)} = \frac{40}{41} e^{-0,2t} $$

Осталось решить это алгебраическое уравнение относительно $\text{v}$:

$$ v = \frac{40}{41} e^{-0,2t} (1 + v) $$

$$ v = \frac{40}{41} e^{-0,2t} + v \cdot \frac{40}{41} e^{-0,2t} $$

$$ v - v \cdot \frac{40}{41} e^{-0,2t} = \frac{40}{41} e^{-0,2t} $$

$$ v \left(1 - \frac{40}{41} e^{-0,2t}\right) = \frac{40}{41} e^{-0,2t} $$

$$ v(t) = \frac{\frac{40}{41} e^{-0,2t}}{1 - \frac{40}{41} e^{-0,2t}} $$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель дроби на 41:

$$ v(t) = \frac{40 e^{-0,2t}}{41 - 40 e^{-0,2t}} $$

Это и есть искомое частное решение.

Ответ: $v(t) = \frac{40 e^{-0,2t}}{41 - 40 e^{-0,2t}}$