Номер 8.36, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

8.36. Масса крысы при рождении составляет 30 г, период ее взросления длится 3 месяца. Прирост массы крысы описывается следующим дифференциальным уравнением: $\frac{dm}{dt} = 120(t - 3)^2$, где $\text{m}$ — масса крысы (в граммах), $\text{t}$ — время (в месяцах).

1) Найдите общее решение дифференциального уравнения.

2) Найдите частное решение.

3) Вычислите массу взрослой крысы.

1) Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения, необходимо проинтегрировать данное выражение.

Исходное уравнение: $ \frac{dm}{dt} = 120(t - 3)^2 $.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Умножим обе части на $ dt $, чтобы разделить переменные $ m $ и $ t $:

$ dm = 120(t - 3)^2 dt $

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$ \int dm = \int 120(t - 3)^2 dt $

Интеграл левой части равен $ m(t) $. Для правой части выносим константу за знак интеграла:

$ m(t) = 120 \int (t - 3)^2 dt $

Интеграл от степенной функции $ (t-a)^n $ равен $ \frac{(t-a)^{n+1}}{n+1} $. Применяя это правило, получаем:

$ m(t) = 120 \cdot \frac{(t - 3)^{2+1}}{2+1} + C = 120 \cdot \frac{(t - 3)^3}{3} + C $

Упрощая выражение, находим общее решение:

$ m(t) = 40(t - 3)^3 + C $, где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ m(t) = 40(t - 3)^3 + C $

2) Чтобы найти частное решение, нужно определить значение константы $ C $. Для этого используем начальное условие, данное в задаче: масса крысы при рождении ($ t=0 $) составляет 30 г. То есть, $ m(0) = 30 $.

Подставим значения $ t=0 $ и $ m=30 $ в общее решение:

$ 30 = 40(0 - 3)^3 + C $

Произведем вычисления, чтобы найти $ C $:

$ 30 = 40(-3)^3 + C $

$ 30 = 40(-27) + C $

$ 30 = -1080 + C $

$ C = 30 + 1080 = 1110 $

Теперь подставим найденное значение $ C $ обратно в общее решение, чтобы получить частное решение:

$ m(t) = 40(t - 3)^3 + 1110 $

Ответ: $ m(t) = 40(t - 3)^3 + 1110 $

3) Взрослой считается крыса, достигшая конца периода взросления. По условию, этот период длится 3 месяца. Следовательно, нам нужно вычислить массу крысы в момент времени $ t=3 $.

Используем для этого найденное в предыдущем пункте частное решение:

$ m(t) = 40(t - 3)^3 + 1110 $

Подставим $ t=3 $ в формулу:

$ m(3) = 40(3 - 3)^3 + 1110 $

Выполним вычисления:

$ m(3) = 40(0)^3 + 1110 $

$ m(3) = 40 \cdot 0 + 1110 $

$ m(3) = 1110 $

Таким образом, масса взрослой крысы составляет 1110 г.

Ответ: 1110 г.