Номер 7.110, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.110. Решите логарифмическое неравенство:

1) $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) \ge 0;$

2) $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) \ge 0.$

1) $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) \ge 0$

Для решения данного логарифмического неравенства применим метод интервалов. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Далее найдем нули каждого множителя, приравняв их к нулю.

Первый множитель: $\log_2 x - 4 = 0$. Отсюда $\log_2 x = 4$, что равносильно $x = 2^4 = 16$.

Второй множитель: $5x^2 + x - 6 = 0$. Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 11}{2 \cdot 5}$.

$x_1 = \frac{-1 - 11}{10} = -\frac{12}{10} = -1.2$.

$x_2 = \frac{-1 + 11}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Теперь нанесем на числовую ось точки, в которых левая часть неравенства равна нулю или не существует, и учтем ОДЗ. В нашу область $x > 0$ попадают точки $x=1$ и $x=16$. Точка $x=-1.2$ не входит в ОДЗ.

Эти точки разбивают положительную часть числовой оси на три интервала: $(0, 1)$, $(1, 16)$ и $(16, +\infty)$. Определим знак выражения $f(x) = (\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6)$ на каждом из этих интервалов.

– На интервале $(0, 1)$ возьмем пробную точку $x=0.5$. Тогда $\log_2 0.5 - 4 = -1 - 4 = -5 < 0$, а $5(0.5)^2 + 0.5 - 6 = 1.25 + 0.5 - 6 = -4.25 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число: $(-)\cdot(-) = (+)$.

– На интервале $(1, 16)$ возьмем пробную точку $x=2$. Тогда $\log_2 2 - 4 = 1 - 4 = -3 < 0$, а $5(2)^2 + 2 - 6 = 20 + 2 - 6 = 16 > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел дает отрицательное число: $(-)\cdot(+) = (-)$.

– На интервале $(16, +\infty)$ возьмем пробную точку $x=32$. Тогда $\log_2 32 - 4 = 5 - 4 = 1 > 0$, а $5(32)^2 + 32 - 6$ очевидно положительно. Произведение двух положительных чисел дает положительное число: $(+)\cdot(+) = (+)$.

Нас интересуют промежутки, где выражение не меньше нуля ($ \ge 0 $). Это интервалы $(0, 1)$ и $(16, +\infty)$. Так как неравенство нестрогое, мы включаем в решение точки $x=1$ и $x=16$.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [16, +\infty)$.

2) $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

ОДЗ для логарифма: $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Найдем нули каждого множителя.

Первый множитель: $\log_3 x + 3 = 0$. Отсюда $\log_3 x = -3$, что дает $x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

Второй множитель: $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

С учетом ОДЗ ($x>0$) на числовой оси отмечаем точки $x=\frac{1}{27}$ и $x=2$. Корень $x=-4$ не входит в ОДЗ.

Точки $\frac{1}{27}$ и $\text{2}$ делят область $(0, +\infty)$ на интервалы: $(0, \frac{1}{27})$, $(\frac{1}{27}, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак выражения $g(x) = (\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8)$ на каждом интервале.

– На интервале $(0, \frac{1}{27})$ возьмем $x=\frac{1}{81}$. Тогда $\log_3(\frac{1}{81}) + 3 = -4 + 3 = -1 < 0$, а $x^2+2x-8$ на интервале между корнями $(-4, 2)$ принимает отрицательные значения. Таким образом, произведение $(-)\cdot(-) = (+)$.

– На интервале $(\frac{1}{27}, 2)$ возьмем $x=1$. Тогда $\log_3 1 + 3 = 0 + 3 = 3 > 0$, а $1^2 + 2(1) - 8 = -5 < 0$. Произведение $(+)\cdot(-) = (-)$.

– На интервале $(2, +\infty)$ возьмем $x=3$. Тогда $\log_3 3 + 3 = 1 + 3 = 4 > 0$, а $3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0$. Произведение $(+)\cdot(+) = (+)$.

Неравенство требует, чтобы выражение было больше или равно нулю. Это выполняется на промежутках, где знак «+». Так как неравенство нестрогое, включаем точки $\frac{1}{27}$ и $\text{2}$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{27}] \cup [2, +\infty)$.