Номер 7.104, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.104. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1}}$;

2) $f(x) = \sqrt{\log_{0.3} \frac{x-1}{x+5}}$;

1) Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1}}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — положительным. Это означает, что должны выполняться два условия одновременно: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$ и $\frac{2x}{x-1} > 0$.

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Представим $\text{0}$ как $\log_{\frac{1}{2}} 1$. Тогда неравенство принимает вид $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge \log_{\frac{1}{2}} 1$. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный, и мы также должны учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным. Это приводит к двойному неравенству:

$0 < \frac{2x}{x-1} \le 1$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств: $\frac{2x}{x-1} > 0$ и $\frac{2x}{x-1} \le 1$. Первое из них совпадает со вторым начальным условием.

Решим неравенство $\frac{2x}{x-1} > 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Проанализировав знаки на каждом, получаем решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство $\frac{2x}{x-1} \le 1$. Перенесем всё в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x-1} - 1 \le 0 \implies \frac{2x - (x-1)}{x-1} \le 0 \implies \frac{x+1}{x-1} \le 0$.

Снова используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-1$ и $x=1$. Учитывая, что точка $x=-1$ входит в решение, а $x=1$ — нет, получаем $x \in [-1, 1)$.

Область определения функции — это пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)) \cap [-1, 1)$.

Пересечением этих множеств является промежуток $[-1, 0)$.

Ответ: $D(f) = [-1, 0)$.

2) Найдем область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{0.3} \frac{x-1}{x+5}}$. Условия существования функции: подкоренное выражение неотрицательно, а подлогарифмическое выражение — положительно. Это можно записать в виде системы: $\log_{0.3} \frac{x-1}{x+5} \ge 0$ и $\frac{x-1}{x+5} > 0$.

Решим первое неравенство: $\log_{0.3} \frac{x-1}{x+5} \ge 0$. Основание логарифма $a = 0.3$ меньше 1, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Запишем $\text{0}$ как $\log_{0.3} 1$. Неравенство $\log_{0.3} \frac{x-1}{x+5} \ge \log_{0.3} 1$ с учётом области определения логарифма равносильно двойному неравенству:

$0 < \frac{x-1}{x+5} \le 1$.

Это неравенство можно разбить на два: $\frac{x-1}{x+5} > 0$ и $\frac{x-1}{x+5} \le 1$.

Решим первое неравенство $\frac{x-1}{x+5} > 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=-5$. Они делят числовую прямую на интервалы. Анализ знаков показывает, что решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$.

Решим второе неравенство $\frac{x-1}{x+5} \le 1$. Преобразуем его:

$\frac{x-1}{x+5} - 1 \le 0 \implies \frac{(x-1) - (x+5)}{x+5} \le 0 \implies \frac{-6}{x+5} \le 0$.

Числитель дроби, $-6$, является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была неположительной, ее знаменатель должен быть строго положительным:

$x+5 > 0 \implies x > -5$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-5, +\infty)$.

Итоговая область определения функции является пересечением решений этих двух неравенств: $x \in ((-\infty, -5) \cup (1, +\infty)) \cap (-5, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.