Номер 7.98, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.98. Решите простейшее логарифмическое неравенство:

1) $ \log_5 (3 + 8x) > 0; $

2) $ \log_{\frac{1}{3}} (7 - x) > -2; $

3) $ \log_2 (x - 3) < 3; $

4) $ \lg(4x - 1) \le 1. $

1) Решим неравенство $log_5(3 + 8x) > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

$3 + 8x > 0$

$8x > -3$

$x > -\frac{3}{8}$

Теперь преобразуем исходное неравенство. Представим 0 в виде логарифма с основанием 5: $0 = log_5(5^0) = log_5(1)$.

Неравенство принимает вид: $log_5(3 + 8x) > log_5(1)$.

Так как основание логарифма $a=5$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

$3 + 8x > 1$

$8x > -2$

$x > -\frac{2}{8}$

$x > -\frac{1}{4}$

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы должны удовлетворить двум условиям: $x > -\frac{3}{8}$ и $x > -\frac{1}{4}$. Поскольку $-\frac{1}{4} > -\frac{3}{8}$, решением является более сильное неравенство $x > -\frac{1}{4}$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > -2$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.

$7 - x > 0$

$x < 7$

Теперь преобразуем неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$: $-2 = log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = log_{\frac{1}{3}}(3^2) = log_{\frac{1}{3}}(9)$.

Неравенство принимает вид: $log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > log_{\frac{1}{3}}(9)$.

Так как основание логарифма $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

$7 - x < 9$

$-x < 2$

$x > -2$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Требуется, чтобы $x < 7$ и $x > -2$. Это соответствует интервалу $-2 < x < 7$.

Ответ: $(-2; 7)$.

3) Решим неравенство $log_2(x - 3) \le 3$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.

$x - 3 > 0$

$x > 3$

Представим правую часть неравенства как логарифм с основанием 2: $3 = log_2(2^3) = log_2(8)$.

Неравенство принимает вид: $log_2(x - 3) \le log_2(8)$.

Так как основание логарифма $a=2$ больше 1, функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.

$x - 3 \le 8$

$x \le 11$

Совместим решение с ОДЗ: $x > 3$ и $x \le 11$. Это соответствует интервалу $3 < x \le 11$.

Ответ: $(3; 11]$.

4) Решим неравенство $\lg(4x - 1) \le 1$.

Напомним, что $\lg$ — это десятичный логарифм, т.е. $log_{10}$.

ОДЗ: $4x - 1 > 0$

$4x > 1$

$x > \frac{1}{4}$

Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $1 = \lg(10^1) = \lg(10)$.

Неравенство принимает вид: $\lg(4x - 1) \le \lg(10)$.

Так как основание логарифма $a=10$ больше 1, функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.

$4x - 1 \le 10$

$4x \le 11$

$x \le \frac{11}{4}$

Учитывая ОДЗ ($x > \frac{1}{4}$) и полученное решение ($x \le \frac{11}{4}$), находим их пересечение: $\frac{1}{4} < x \le \frac{11}{4}$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{11}{4}]$.