Номер 7.99, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.99. Решите простейшее логарифмическое неравенство:

1) $\log_2(5 + 2x) > \log_2(x - 7)$

2) $\log_5(3x - 2) > \log_5(x + 6)$

3) $\log_8(3x - 1) < \log_8(2x + 3)$

4) $\log_{\frac{1}{9}}(4x - 3) > \log_{\frac{1}{9}}(x + 3)$

1) Решим неравенство $\log_{2}(5 + 2x) > \log_{2}(x - 7)$.

Поскольку основание логарифма $a=2$ больше единицы ($2>1$), логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Кроме того, аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Таким образом, данное неравенство равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} 5 + 2x > 0 \\ x - 7 > 0 \\ 5 + 2x > x - 7 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} 2x > -5 \\ x > 7 \\ 2x - x > -7 - 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2.5 \\ x > 7 \\ x > -12 \end{cases}$

Для нахождения решения системы нужно найти пересечение трех промежутков: $x \in (-2.5; +\infty)$, $x \in (7; +\infty)$ и $x \in (-12; +\infty)$. Общим решением является наиболее сильное неравенство $x > 7$.

Ответ: $(7; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\log_{6}(3x - 2) > \log_{6}(x + 6)$.

Основание логарифма $a=6$ больше единицы ($6>1$), поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства для аргументов сохраняется. Также учтем область допустимых значений (ОДЗ), согласно которой аргументы логарифмов должны быть положительны. Запишем соответствующую систему:

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \\ 3x - 2 > x + 6 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 3x > 2 \\ x > -6 \\ 3x - x > 6 + 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x > -6 \\ 2x > 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x > -6 \\ x > 4 \end{cases}$

Пересечением промежутков $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$, $x \in (-6; +\infty)$ и $x \in (4; +\infty)$ является промежуток $(4; +\infty)$.

Ответ: $(4; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\log_{8}(3x - 1) < \log_{8}(2x + 3)$.

Основание логарифма $a=8$ больше единицы ($8>1$), поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства для аргументов сохраняется. Неравенство равносильно системе, учитывающей ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ 3x - 1 < 2x + 3 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 3x > 1 \\ 2x > -3 \\ 3x - 2x < 3 + 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{3}{2} \\ x < 4 \end{cases}$

Находим пересечение решений: $\text{x}$ должен быть больше $\frac{1}{3}$ и меньше $\text{4}$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 4)$.

4) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{9}}(4x - 3) > \log_{\frac{1}{9}}(x + 3)$.

Основание логарифма $a=\frac{1}{9}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{9} < 1$). В этом случае логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный. С учетом ОДЗ, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 4x - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \\ 4x - 3 < x + 3 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 4x > 3 \\ x > -3 \\ 4x - x < 3 + 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x > -3 \\ 3x < 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x > -3 \\ x < 2 \end{cases}$

Пересечением решений является интервал, где $\text{x}$ больше $\frac{3}{4}$ и меньше $\text{2}$.

Ответ: $(\frac{3}{4}; 2)$.