Номер 7.101, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.101. Решите простейшее логарифмическое неравенство:

1) $log_3(5x - 2) > 1;$

2) $log_{0,5}(5x - 2) > 1;$

3) $log_3|5x - 2| < 1;$

4) $log_{0,5}(x^2 - 5x + 7) \ge 0;$

5) $log_5(x^2 - 11x + 43) > 2;$

6) $log_2(x^2 - 3x) \le 2.$

1) $log_{3}(5x - 2) > 1$

Решение данного логарифмического неравенства состоит из двух шагов: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$5x - 2 > 0$

$5x > 2$

$x > \frac{2}{5}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3: $1 = log_{3}(3)$.

$log_{3}(5x - 2) > log_{3}(3)$

Так как основание логарифма $3 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$5x - 2 > 3$

$5x > 5$

$x > 1$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Мы получили систему неравенств:

$\begin{cases} x > \frac{2}{5} \\ x > 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$

2) $log_{0.5}(5x - 2) > 1$

1. Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в предыдущем примере:

$5x - 2 > 0 \implies x > \frac{2}{5}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0.5: $1 = log_{0.5}(0.5)$.

$log_{0.5}(5x - 2) > log_{0.5}(0.5)$

Так как основание логарифма $0.5$ находится в интервале $(0; 1)$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$5x - 2 < 0.5$

$5x < 2.5$

$x < \frac{2.5}{5}$

$x < 0.5$ или $x < \frac{1}{2}$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > \frac{2}{5} \\ x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Учитывая, что $\frac{2}{5} = 0.4$ и $\frac{1}{2} = 0.5$, получаем интервал $0.4 < x < 0.5$.

Ответ: $(\frac{2}{5}; \frac{1}{2})$

3) $log_{3}|5x - 2| < 1$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$|5x - 2| > 0$

Это выражение верно для всех $\text{x}$, кроме тех, где $5x - 2 = 0$.

$5x \neq 2 \implies x \neq \frac{2}{5}$

2. Решим неравенство. Представим $\text{1}$ как $log_{3}(3)$.

$log_{3}|5x - 2| < log_{3}(3)$

Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$|5x - 2| < 3$

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-3 < 5x - 2 < 3$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-3 + 2 < 5x < 3 + 2$

$-1 < 5x < 5$

Разделим все части на 5:

$-\frac{1}{5} < x < 1$

3. Объединим решение с ОДЗ. Мы получили интервал $(-\frac{1}{5}; 1)$ и условие $x \neq \frac{2}{5}$. Точка $x = \frac{2}{5}$ ($x=0.4$) находится внутри этого интервала, поэтому ее нужно исключить.

Ответ: $(-\frac{1}{5}; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; 1)$

4) $log_{0.5}(x^2 - 5x + 7) \geq 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:

$x^2 - 5x + 7 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положителен, то парабола $y = x^2 - 5x + 7$ полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 5x + 7$ положительно при любых $\text{x}$. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим $\text{0}$ как $log_{0.5}(1)$.

$log_{0.5}(x^2 - 5x + 7) \geq log_{0.5}(1)$

Основание $0.5 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 7 \leq 1$

$x^2 - 5x + 6 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $\leq 0$ выполняется между корнями включительно.

$2 \leq x \leq 3$

3. Так как ОДЗ - все действительные числа, решение совпадает с результатом шага 2.

Ответ: $[2; 3]$

5) $log_{5}(x^2 - 11x + 43) > 2$

1. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 11x + 43 > 0$

Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 43 = 121 - 172 = -51$.

Так как $D < 0$ и $a = 1 > 0$, выражение всегда положительно. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим $\text{2}$ как $log_{5}(5^2) = log_{5}(25)$.

$log_{5}(x^2 - 11x + 43) > log_{5}(25)$

Основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 11x + 43 > 25$

$x^2 - 11x + 18 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 9$.

Парабола $y = x^2 - 11x + 18$ ветвями вверх, поэтому неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

$x < 2$ или $x > 9$

3. ОДЗ - все действительные числа, поэтому дополнительно ничего не исключаем.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (9; +\infty)$

6) $log_{2}(x^2 - 3x) \leq 2$

1. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 3x > 0$

$x(x - 3) > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим $\text{2}$ как $log_{2}(2^2) = log_{2}(4)$.

$log_{2}(x^2 - 3x) \leq log_{2}(4)$

Основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 3x \leq 4$

$x^2 - 3x - 4 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ ветвями вверх, неравенство $\leq 0$ выполняется между корнями включительно: $x \in [-1; 4]$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Нужно найти пересечение множеств $[-1; 4]$ и $((-\infty; 0) \cup (3; +\infty))$.

$\begin{cases} -1 \leq x \leq 4 \\ x < 0 \text{ или } x > 3 \end{cases}$

Пересечение дает два интервала: от -1 (включительно) до 0 (не включительно) и от 3 (не включительно) до 4 (включительно).

Ответ: $[-1; 0) \cup (3; 4]$