Номер 7.107, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.107. Решите логарифмическое неравенство:

1) $\log_{\frac{1}{6}} (\log_2 \sqrt{6-x}) > 0$;

2) $\log_{\frac{1}{2}} (\log_3 \frac{x+1}{x-1}) \geq 0$;

3) $\log_{\frac{1}{2}} (\log_5 \frac{x-2}{x+2}) \geq \log_{\frac{1}{2}} 1$;

6) $\log_{\frac{1}{2}} (\log_3 (9^x - 6)) \geq 0$.

1) Исходное неравенство: $log_{1/6}(log_2 \sqrt{6-x}) > 0$.

Так как основание внешнего логарифма $1/6 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Правая часть $\text{0}$ представляется как $log_{1/6} 1$. Также, по определению логарифма, его аргумент должен быть строго положительным. Таким образом, неравенство равносильно системе:

$0 < log_2 \sqrt{6-x} < (1/6)^0$

$0 < log_2 \sqrt{6-x} < 1$

Теперь решим это двойное неравенство. Основание внутреннего логарифма $2 > 1$, поэтому функция является возрастающей. При потенцировании знаки неравенства сохраняются:

$2^0 < \sqrt{6-x} < 2^1$

$1 < \sqrt{6-x} < 2$

Так как все части двойного неравенства положительны, можно возвести их в квадрат:

$1^2 < (\sqrt{6-x})^2 < 2^2$

$1 < 6-x < 4$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 6-x > 1 \\ 6-x < 4 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} x < 5 \\ x > 2 \end{cases}$

Объединяя эти два условия, находим решение: $2 < x < 5$. Условия области определения ($6-x>0$ и $log_2 \sqrt{6-x} > 0$) были учтены в ходе решения.

Ответ: $(2, 5)$

2) Исходное неравенство: $log_{1/2}(log_3 \frac{x+1}{x-1}) \ge 0$.

Основание внешнего логарифма $1/2 < 1$, поэтому функция убывающая. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Аргумент логарифма должен быть больше нуля.

$0 < log_3 \frac{x+1}{x-1} \le (1/2)^0$

$0 < log_3 \frac{x+1}{x-1} \le 1$

Основание внутреннего логарифма $3 > 1$, функция возрастающая. Знаки неравенства сохраняются.

$3^0 < \frac{x+1}{x-1} \le 3^1$

$1 < \frac{x+1}{x-1} \le 3$

Эта система состоит из двух неравенств:

1) $\frac{x+1}{x-1} > 1 \implies \frac{x+1}{x-1} - 1 > 0 \implies \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} > 0 \implies \frac{2}{x-1} > 0$. Отсюда $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.

2) $\frac{x+1}{x-1} \le 3 \implies \frac{x+1}{x-1} - 3 \le 0 \implies \frac{x+1 - 3(x-1)}{x-1} \le 0 \implies \frac{4-2x}{x-1} \le 0 \implies \frac{2(2-x)}{x-1} \le 0$. Разделив на 2 и умножив на -1 (сменив знак), получим $\frac{x-2}{x-1} \ge 0$. Решая методом интервалов, находим $x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 1$ и $x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$. Общим решением является $x \ge 2$.

Ответ: $[2, \infty)$

3) Исходное неравенство: $log_{1/2}(log_5 \frac{x-2}{x+2}) \ge log_{1/2} 1$.

Так как $log_{1/2} 1 = 0$, неравенство можно переписать в виде $log_{1/2}(log_5 \frac{x-2}{x+2}) \ge 0$.

Основание внешнего логарифма $1/2 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется:

$0 < log_5 \frac{x-2}{x+2} \le (1/2)^0$

$0 < log_5 \frac{x-2}{x+2} \le 1$

Основание внутреннего логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, знаки неравенства сохраняются:

$5^0 < \frac{x-2}{x+2} \le 5^1$

$1 < \frac{x-2}{x+2} \le 5$

Решаем систему из двух неравенств:

1) $\frac{x-2}{x+2} > 1 \implies \frac{x-2}{x+2} - 1 > 0 \implies \frac{x-2 - (x+2)}{x+2} > 0 \implies \frac{-4}{x+2} > 0$. Это неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен: $x+2 < 0$, то есть $x < -2$.

2) $\frac{x-2}{x+2} \le 5 \implies \frac{x-2}{x+2} - 5 \le 0 \implies \frac{x-2 - 5(x+2)}{x+2} \le 0 \implies \frac{-4x-12}{x+2} \le 0 \implies \frac{-4(x+3)}{x+2} \le 0$. Умножим на $-1/4$ и сменим знак: $\frac{x+3}{x+2} \ge 0$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -3] \cup (-2, \infty)$.

Пересечение решений $x < -2$ и $x \in (-\infty, -3] \cup (-2, \infty)$ дает нам итоговый результат $x \in (-\infty, -3]$.

Ответ: $(-\infty, -3]$

6) Исходное неравенство: $log_{5/2}(log_3 (9^x - 6)) \ge 0$.

Основание внешнего логарифма $5/2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется при потенцировании:

$log_3 (9^x - 6) \ge (5/2)^0$

$log_3 (9^x - 6) \ge 1$

Представим правую часть как логарифм по тому же основанию: $1 = log_3 3$.

$log_3 (9^x - 6) \ge log_3 3$

Основание внутреннего логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$9^x - 6 \ge 3$

$9^x \ge 9$

$9^x \ge 9^1$

Так как основание степени $9 > 1$, переходим к сравнению показателей:

$x \ge 1$

Проверим область определения. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

1) $9^x - 6 > 0 \implies 9^x > 6 \implies x > log_9 6$.

2) $log_3 (9^x - 6) > 0 \implies 9^x - 6 > 3^0 \implies 9^x - 6 > 1 \implies 9^x > 7 \implies x > log_9 7$.

Область определения задается более строгим условием $x > log_9 7$. Наше решение $x \ge 1$ должно удовлетворять этому условию. Так как $1 = log_9 9$, а $9 > 7$, то $1 > log_9 7$. Следовательно, решение $x \ge 1$ полностью входит в область определения.

Ответ: $[1, \infty)$