Номер 7.93, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.93. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^x \left(\frac{8}{9}\right)^{-x} > \frac{27}{64}, \\ 2^{x^2-6x-3.5} < 8\sqrt{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2^{x+2} - 0,75 \cdot 2^{x+2} > 1, \\ 0,2^x \le 0,04^{x^2}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x-2)^{2x^2-11x+9} < 1, \\ 0,3^{\sqrt{4x^2-3x+2}} > 0,3^{\sqrt{x}}. \end{cases}$

1)

Решим первое неравенство системы:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x\left(\frac{8}{9}\right)^{-x} > \frac{27}{64}$

Преобразуем левую часть, используя свойство степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x\left(\frac{9}{8}\right)^{x} > \frac{27}{64}$

Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}\right)^x > \frac{27}{64}$

$\left(\frac{18}{24}\right)^x > \frac{27}{64}$

Сократим дробь в основании:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x > \frac{27}{64}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{4}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x > \left(\frac{3}{4}\right)^3$

Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x < 3$

Теперь решим второе неравенство системы:

$2^{x^2-6x-3,5} < 8\sqrt{2}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

$8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{3+0,5} = 2^{3,5}$

Неравенство принимает вид:

$2^{x^2-6x-3,5} < 2^{3,5}$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2-6x-3,5 < 3,5$

$x^2-6x-7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2-6x-7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями:

$-1 < x < 7$

Объединим решения обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x < 3$ и $-1 < x < 7$.

Решением системы является интервал $(-1; 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$.

2)

Решим первое неравенство системы:

$2^{x+2} - 0,75 \cdot 2^{x+2} > 1$

Вынесем общий множитель $2^{x+2}$ за скобки:

$2^{x+2}(1 - 0,75) > 1$

$2^{x+2} \cdot 0,25 > 1$

$2^{x+2} > \frac{1}{0,25}$

$2^{x+2} > 4$

$2^{x+2} > 2^2$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x+2 > 2 \Rightarrow x > 0$

Решим второе неравенство системы:

$0,2^x \le 0,04^{x^2}$

Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,04 = (0,2)^2$.

$0,2^x \le (0,2^2)^{x^2}$

$0,2^x \le 0,2^{2x^2}$

Так как основание $0 < 0,2 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge 2x^2$

$2x^2 - x \le 0$

$x(2x-1) \le 0$

Корни уравнения $x(2x-1) = 0$ равны $x_1=0$ и $x_2=0,5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями:

$0 \le x \le 0,5$

Найдем пересечение решений $x > 0$ и $0 \le x \le 0,5$.

Решением системы является полуинтервал $(0; 0,5]$.

Ответ: $(0; 0,5]$.

3)

Рассмотрим второе неравенство системы, так как оно может наложить существенные ограничения на $\text{x}$.

$0,3^{\sqrt{4x^2-3x+2}} > 0,3^{\sqrt{x}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательны:

$x \ge 0$

$4x^2-3x+2 \ge 0$

Для квадратного трехчлена $4x^2-3x+2$ найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $4 > 0$, трехчлен положителен при любых $\text{x}$.

Таким образом, ОДЗ для этого неравенства: $x \ge 0$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание $0 < 0,3 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$\sqrt{4x^2-3x+2} < \sqrt{x}$

На ОДЗ ($x \ge 0$) обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$4x^2-3x+2 < x$

$4x^2-4x+2 < 0$

Разделим обе части на 2:

$2x^2-2x+1 < 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2-2x+1$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, трехчлен $2x^2-2x+1$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $2x^2-2x+1 < 0$ не имеет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.