Номер 7.86, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.86. Решите неравенство:

1) $2^{2x^2+5x-1} < 0.5 \sqrt[3]{(0.25)^{2x}}$;

2) $\sqrt{3^{46-x}} - 7\sqrt{3^{42-x}} > 162$;

3) $(2-\sqrt{3})^x > 7-4\sqrt{3}$.

1) Исходное неравенство: $2^{2x^2+5x-1} < 0,5 \sqrt[3]{(0,25)^{2x}}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2. Для этого преобразуем правую часть. Учтем, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.

$0,5 \sqrt[3]{(0,25)^{2x}} = 2^{-1} \cdot \sqrt[3]{(2^{-2})^{2x}} = 2^{-1} \cdot \sqrt[3]{2^{-4x}} = 2^{-1} \cdot (2^{-4x})^{1/3} = 2^{-1} \cdot 2^{-4x/3} = 2^{-1 - \frac{4x}{3}}$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$2^{2x^2+5x-1} < 2^{-1 - \frac{4x}{3}}$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$2x^2+5x-1 < -1 - \frac{4x}{3}$.

Решим полученное алгебраическое неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2+5x-1 + 1 + \frac{4x}{3} < 0$

$2x^2 + 5x + \frac{4x}{3} < 0$

$2x^2 + \frac{15x+4x}{3} < 0$

$2x^2 + \frac{19x}{3} < 0$.

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$6x^2 + 19x < 0$.

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(6x+19) < 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x(6x+19) = 0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2 = -\frac{19}{6}$.

Графиком функции $y=6x^2+19x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-\frac{19}{6}; 0)$.

Ответ: $(-\frac{19}{6}; 0)$.

2) Исходное неравенство: $\sqrt{3^{46-x}} - 7\sqrt{3^{42-x}} > 162$.

Упростим выражения, используя свойство $\sqrt{a^b} = a^{b/2}$:

$\sqrt{3^{46-x}} = (3^{46-x})^{1/2} = 3^{\frac{46-x}{2}} = 3^{23 - x/2}$.

$\sqrt{3^{42-x}} = (3^{42-x})^{1/2} = 3^{\frac{42-x}{2}} = 3^{21 - x/2}$.

Подставим упрощенные выражения в неравенство:

$3^{23 - x/2} - 7 \cdot 3^{21 - x/2} > 162$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, вынесем общий множитель $3^{21-x/2}$:

$3^2 \cdot 3^{21 - x/2} - 7 \cdot 3^{21 - x/2} > 162$

$9 \cdot 3^{21 - x/2} - 7 \cdot 3^{21 - x/2} > 162$

$(9-7) \cdot 3^{21 - x/2} > 162$

$2 \cdot 3^{21 - x/2} > 162$.

Разделим обе части неравенства на 2:

$3^{21 - x/2} > 81$.

Представим 81 как степень 3: $81 = 3^4$.

$3^{21 - x/2} > 3^4$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$21 - \frac{x}{2} > 4$

$17 > \frac{x}{2}$

$34 > x$, или $x < 34$.

Ответ: $(-\infty; 34)$.

3) Исходное неравенство: $(2-\sqrt{3})^x > 7-4\sqrt{3}$.

Преобразуем правую часть неравенства. Попробуем представить ее в виде степени с основанием $2-\sqrt{3}$.

Возведем основание в квадрат: $(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Мы видим, что правая часть неравенства равна квадрату левого основания. Неравенство можно переписать в виде:

$(2-\sqrt{3})^x > (2-\sqrt{3})^2$.

Оценим основание степени $a = 2-\sqrt{3}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$ (поскольку $1^2 < (\sqrt{3})^2 < 2^2$), то $0 < 2-\sqrt{3} < 1$.

Показательная функция с основанием $\text{a}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < 2$.

Ответ: $(-\infty; 2)$.