Номер 7.80, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.80. Решите систему неравенств:

1) $\left\{\begin{aligned}5^x &> 25, \\\left(\frac{1}{3}\right)^{x-8} &< \frac{1}{27};\end{aligned}\right.$

2) $\left\{\begin{aligned}8 &> \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x}, \\3^{4x} &> 81. \end{aligned} \right.$

1)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5^x > 25, \\ (\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27} \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $5^x > 25$.

Представим 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид: $5^x > 5^2$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к сравнению показателей, сохранив знак неравенства:

$x > 2$.

Решим второе неравенство: $(\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}$.

Представим $\frac{1}{27}$ как степень числа $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x-8} < (\frac{1}{3})^3$.

Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 8 > 3$.

Решаем полученное линейное неравенство:

$x > 3 + 8$,

$x > 11$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. На числовой оси это будет пересечение интервалов $(2; +\infty)$ и $(11; +\infty)$.

Общим решением системы является $x > 11$.

Ответ: $(11; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 8 > (\frac{1}{2})^{6-x}, \\ 3^{4x} > 81 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $8 > (\frac{1}{2})^{6-x}$.

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 2.

$8 = 2^3$.

$(\frac{1}{2})^{6-x} = (2^{-1})^{6-x} = 2^{-(6-x)} = 2^{x-6}$.

Неравенство принимает вид: $2^3 > 2^{x-6}$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Сохраняем знак неравенства при переходе к показателям:

$3 > x - 6$.

Решаем полученное линейное неравенство:

$3 + 6 > x$,

$9 > x$, или $x < 9$.

Решим второе неравенство: $3^{4x} > 81$.

Представим 81 как степень числа 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Неравенство принимает вид: $3^{4x} > 3^4$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Сохраняем знак неравенства:

$4x > 4$.

Разделим обе части на 4:

$x > 1$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x < 9$ и $x > 1$.

Общим решением системы является двойное неравенство $1 < x < 9$.

Ответ: $(1; 9)$.