Номер 7.76, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.76. Решите неравенство методом введения новой переменной:

1) $\pi^x - \pi^{2x} \ge 0;$

2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1} - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0;$

3) $4^x - 2^{x+1} - 8 > 0;$

4) $\left(\frac{1}{36}\right)^x - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0;$

1) Исходное неравенство: $\pi^x - \pi^{2x} \ge 0$.

Перепишем неравенство, представив $\pi^{2x}$ как $(\pi^x)^2$: $\pi^x - (\pi^x)^2 \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \pi^x$. Поскольку $\pi > 0$, то $t > 0$ для любого $\text{x}$.

Подставив $\text{t}$, получим квадратное неравенство: $t - t^2 \ge 0$.

Вынесем $\text{t}$ за скобки: $t(1 - t) \ge 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $t(1 - t) = 0$. Корни: $t_1 = 0$, $t_2 = 1$.

Так как это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $t^2$ отрицателен), она принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями: $0 \le t \le 1$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем итоговое неравенство для $\text{t}$: $0 < t \le 1$.

Выполним обратную замену: $0 < \pi^x \le 1$.

Неравенство $\pi^x > 0$ выполняется для всех действительных $\text{x}$.

Решим неравенство $\pi^x \le 1$. Представим $\text{1}$ как $\pi^0$: $\pi^x \le \pi^0$.

Так как основание степени $\pi \approx 3.14159... > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x \le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{3})^{2x-1} - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0$.

Преобразуем первый член: $(\frac{1}{3})^{2x-1} = (3^{-1})^{2x-1} = 3^{-2x+1} = 3^{-2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^{-x})^2$.

Неравенство принимает вид: $3 \cdot (3^{-x})^2 - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = 3^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $\text{t}$: $3t^2 - 10t + 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$.

Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $t_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $t_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями: $\frac{1}{3} < t < 3$.

Условие $t > 0$ выполняется.

Выполним обратную замену $t = 3^{-x}$: $\frac{1}{3} < 3^{-x} < 3$.

Представим левую и правую части в виде степени с основанием 3: $3^{-1} < 3^{-x} < 3^1$.

Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^z$ возрастающая. При переходе к показателям, сохраняем знаки неравенства: $-1 < -x < 1$.

Умножим все части двойного неравенства на -1, изменив знаки на противоположные: $1 > x > -1$, что эквивалентно $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

3) Исходное неравенство: $4^x - 2^{x+1} - 8 > 0$.

Преобразуем члены неравенства: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$.

Неравенство принимает вид: $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 > 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $\text{t}$: $t^2 - 2t - 8 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает положительные значения вне отрезка между корнями: $t < -2$ или $t > 4$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t < -2$. Остается только $t > 4$.

Выполним обратную замену $t = 2^x$: $2^x > 4$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $2^x > 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая. При переходе к показателям, сохраняем знак неравенства: $x > 2$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $(\frac{1}{36})^x - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0$.

Преобразуем первый член: $(\frac{1}{36})^x = (36^{-1})^x = 36^{-x} = (6^2)^{-x} = (6^{-x})^2$.

Неравенство принимает вид: $(6^{-x})^2 - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = 6^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $\text{t}$: $t^2 - 5t - 6 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает неположительные значения на отрезке между корнями: $-1 \le t \le 6$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем итоговое неравенство для $\text{t}$: $0 < t \le 6$.

Выполним обратную замену $t = 6^{-x}$: $0 < 6^{-x} \le 6$.

Неравенство $6^{-x} > 0$ выполняется для всех $\text{x}$.

Решим неравенство $6^{-x} \le 6$. Представим правую часть как $6^1$: $6^{-x} \le 6^1$.

Так как основание $6 > 1$, функция $y=6^z$ возрастающая. При переходе к показателям, сохраняем знак неравенства: $-x \le 1$.

Умножим обе части на -1, изменив знак на противоположный: $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.