Номер 7.70, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.70. Постройте график функции $y = |3^{x-1} - 5|$.

Построение графика функции $y = |3^{x-1} - 5|$ можно выполнить в несколько этапов, используя метод преобразования графиков.

1. Начнем с построения графика базовой показательной функции $y_1 = 3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox) при $x \to -\infty$.

2. Далее построим график функции $y_2 = 3^{x-1}$. Он получается из графика $y_1 = 3^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. График $y_2$ проходит через точку $(1, 1)$, а его асимптота остается $y=0$.

3. Теперь построим график функции $y_3 = 3^{x-1} - 5$. Этот график получается из графика $y_2$ сдвигом на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. В результате этого сдвига горизонтальная асимптота смещается и становится $y = -5$. Найдем ключевые точки для этого графика:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y_3 = 3^{0-1} - 5 = \frac{1}{3} - 5 = -\frac{14}{3}$. Точка пересечения — $(0, -\frac{14}{3})$.
• Пересечение с осью Ox (при $y_3=0$): $3^{x-1} - 5 = 0 \implies 3^{x-1} = 5$. Прологарифмировав обе части по основанию 3, получим $x-1 = \log_3 5$, откуда $x = 1 + \log_3 5$. Точка пересечения — $(1 + \log_3 5, 0)$.

4. На заключительном этапе строим график искомой функции $y = |3^{x-1} - 5|$. Операция взятия модуля означает, что часть графика функции $y_3 = 3^{x-1} - 5$, которая расположена ниже оси Ox, должна быть симметрично отражена относительно этой оси, а часть, расположенная на оси Ox или выше, остается без изменений.

Таким образом:

- Часть графика $y_3$, где $x < 1 + \log_3 5$ (и, соответственно, $y_3 < 0$), отражается вверх. На этом интервале график описывается уравнением $y = -(3^{x-1} - 5) = 5 - 3^{x-1}$.

- Часть графика $y_3$, где $x \ge 1 + \log_3 5$ (и $y_3 \ge 0$), остается на своем месте и описывается уравнением $y = 3^{x-1} - 5$.

Итоговый график будет иметь следующие свойства:

- Горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$ является $y=5$, так как при $x \to -\infty$, $y_3 \to -5$, и $|-5|=5$.

- График пересекает ось Oy в точке $(0, \frac{14}{3})$, так как $|-\frac{14}{3}| = \frac{14}{3}$.

- График касается оси Ox в одной точке $(1 + \log_3 5, 0)$, где функция достигает своего минимального значения, равного 0.

- График имеет "излом" в точке $(1 + \log_3 5, 0)$. Слева от этой точки функция убывает, а справа — возрастает.

Ответ: График функции $y = |3^{x-1} - 5|$ представляет собой кривую, расположенную в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет горизонтальную асимптоту $y=5$ при $x \to -\infty$. График убывает на интервале $(-\infty, 1+\log_3 5]$ и возрастает на интервале $[1+\log_3 5, +\infty)$. Точка минимума функции — $(1+\log_3 5, 0)$, это единственная точка пересечения с осью Ox. График пересекает ось Oy в точке $(0, \frac{14}{3})$.