Вопросы, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Опишите основной алгоритм решения показательного неравенства.

2. Влияет ли основание показательной функции на решение показательного неравенства? Если да, почему?

1. Основной алгоритм решения показательного неравенства, например, вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, состоит из следующих шагов:

1) Привести обе части неравенства к одному и тому же положительному основанию $\text{a}$, не равному 1. Для этого используются свойства степеней.

2) Перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей. Этот переход зависит от величины основания $\text{a}$:

- Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства для показателей сохраняется: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.

- Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$.

3) Решить полученное неравенство для показателей ($f(x) > g(x)$ или $f(x) < g(x)$).

4) При необходимости учесть область допустимых значений (ОДЗ) для выражений, стоящих в показателях степени.

Ответ: Алгоритм заключается в приведении неравенства к общему основанию, последующем переходе к неравенству для показателей с сохранением или изменением знака в зависимости от основания, и решении полученного неравенства.

2. Да, основание показательной функции влияет на решение показательного неравенства, и это влияние является ключевым. Причина заключается в свойстве монотонности показательной функции $y = a^x$.

- Если основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ к неравенству для показателей $f(x)$ и $g(x)$, знак неравенства сохраняется: $f(x) > g(x)$.

- Если основание $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ к неравенству для показателей, знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $f(x) < g(x)$.

Таким образом, от величины основания напрямую зависит, сохранится ли знак исходного неравенства при переходе к неравенству для показателей, что коренным образом влияет на дальнейшее решение и итоговый ответ.

Ответ: Да, влияет, потому что от величины основания ($a>1$ или $0<a<1$) зависит, будет ли показательная функция возрастающей или убывающей, что определяет, сохраняется или изменяется на противоположный знак неравенства при переходе к решению неравенства для показателей.