Номер 7.65, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 7.63 – 7.66 решите уравнения и системы уравнений:

7.65. 1) $\begin{cases} 3^{\lg x} = 4^{\lg 9}, \\ (4x)^{\lg 4} = (3y)^{\lg 3}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^{\log_3 y} + 2 \cdot y^{\log_3 x} = 27, \\ \log_3 y - \log_3 x = 1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \log_2 x \cdot \log_x (x - 3y) = 2, \\ x \cdot y^{\log_2 9} = y^{\frac{5}{2}}; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} |x|^{|y|} = 4, \\ xy = 40. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^{\lg x} = 4^{\lg y} \\ (4x)^{\lg 4} = (3y)^{\lg 3} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $y > 0$.

Прологарифмируем обе части первого уравнения по основанию 10:

$\lg(3^{\lg x}) = \lg(4^{\lg y})$

$\lg x \cdot \lg 3 = \lg y \cdot \lg 4$

Выразим $\lg y$:

$\lg y = \lg x \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4}$ (1)

Теперь прологарифмируем обе части второго уравнения по основанию 10:

$\lg((4x)^{\lg 4}) = \lg((3y)^{\lg 3})$

$\lg 4 \cdot \lg(4x) = \lg 3 \cdot \lg(3y)$

Используя свойство логарифма произведения $\lg(ab) = \lg a + \lg b$, получаем:

$\lg 4 \cdot (\lg 4 + \lg x) = \lg 3 \cdot (\lg 3 + \lg y)$

$(\lg 4)^2 + \lg 4 \cdot \lg x = (\lg 3)^2 + \lg 3 \cdot \lg y$

Подставим выражение для $\lg y$ из (1) в это уравнение:

$(\lg 4)^2 + \lg 4 \cdot \lg x = (\lg 3)^2 + \lg 3 \cdot \left(\lg x \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4}\right)$

$(\lg 4)^2 + \lg 4 \cdot \lg x = (\lg 3)^2 + \lg x \cdot \frac{(\lg 3)^2}{\lg 4}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\lg x$:

$\lg x \cdot \lg 4 - \lg x \cdot \frac{(\lg 3)^2}{\lg 4} = (\lg 3)^2 - (\lg 4)^2$

$\lg x \left(\lg 4 - \frac{(\lg 3)^2}{\lg 4}\right) = (\lg 3)^2 - (\lg 4)^2$

$\lg x \left(\frac{(\lg 4)^2 - (\lg 3)^2}{\lg 4}\right) = - ((\lg 4)^2 - (\lg 3)^2)$

Поскольку $4 \neq 3$, то $\lg 4 \neq \lg 3$, и $(\lg 4)^2 - (\lg 3)^2 \neq 0$. Мы можем разделить обе части на это выражение:

$\frac{\lg x}{\lg 4} = -1$

$\lg x = -\lg 4 = \lg(4^{-1}) = \lg(1/4)$

Отсюда $x = 1/4$.

Теперь найдем $\text{y}$, используя (1):

$\lg y = \lg(1/4) \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} = (-\lg 4) \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} = -\lg 3 = \lg(3^{-1}) = \lg(1/3)$

Отсюда $y = 1/3$.

Полученные значения $x=1/4$ и $y=1/3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 1/4, y = 1/3$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^{\log_3 y} + 2 \cdot y^{\log_3 x} = 27 \\ \log_3 y - \log_3 x = 1 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Используем основное логарифмическое тождество в виде $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применительно к первому уравнению это дает $x^{\log_3 y} = y^{\log_3 x}$.

Тогда первое уравнение можно переписать как:

$y^{\log_3 x} + 2 \cdot y^{\log_3 x} = 27$

$3 \cdot y^{\log_3 x} = 27$

$y^{\log_3 x} = 9$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$\log_3 y - \log_3 x = 1$

$\log_3\left(\frac{y}{x}\right) = 1$

$\frac{y}{x} = 3^1 = 3 \implies y = 3x$.

Теперь у нас есть система проще:

$\begin{cases} y^{\log_3 x} = 9 \\ y = 3x \end{cases}$

Подставим $y=3x$ в первое уравнение:

$(3x)^{\log_3 x} = 9$

Сделаем замену $t = \log_3 x$, откуда $x = 3^t$.

$(3 \cdot 3^t)^t = 3^2$

$(3^{1+t})^t = 3^2$

$3^{(1+t)t} = 3^2$

Приравниваем показатели степени:

$(1+t)t = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $t = 1$.

$\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.

Тогда $y = 3x = 3 \cdot 3 = 9$.

Решение $(3, 9)$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $t = -2$.

$\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = 1/9$.

Тогда $y = 3x = 3 \cdot (1/9) = 1/3$.

Решение $(1/9, 1/3)$ удовлетворяет ОДЗ.

Проверка подтверждает, что оба решения верны.

Ответ: $(3, 9)$, $(1/9, 1/3)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \log_2 x \cdot \log_x (x-3y) = 2 \\ x \cdot y^{\log_y x} = y^{5/2} \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$; $y > 0$, $y \neq 1$; $x-3y > 0$.

Упростим первое уравнение, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_2 x \cdot \frac{\log_2 (x-3y)}{\log_2 x} = 2$

Так как $x \neq 1$, то $\log_2 x \neq 0$, и мы можем на него сократить:

$\log_2 (x-3y) = 2$

$x - 3y = 2^2 = 4$, откуда $x = 4 + 3y$.

Упростим второе уравнение, используя свойство $a^{\log_a b} = b$ (справедливо при $y>0, y \neq 1$):

$x \cdot x = y^{5/2}$

$x^2 = y^{5/2}$

Поскольку $x>0$, мы можем извлечь корень:

$x = (y^{5/2})^{1/2} = y^{5/4}$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x = 4 + 3y \\ x = y^{5/4} \end{cases}$

Приравниваем правые части:

$y^{5/4} = 4 + 3y$

$y^{5/4} - 3y - 4 = 0$

Рассмотрим функцию $f(y) = y^{5/4} - 3y - 4$ для $y > 0$. Нам нужно найти ее корни.

Найдем производную этой функции, чтобы исследовать ее поведение:

$f'(y) = \frac{5}{4}y^{1/4} - 3$

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:

$f'(y) = 0 \implies \frac{5}{4}y^{1/4} = 3 \implies y^{1/4} = \frac{12}{5} \implies y_0 = \left(\frac{12}{5}\right)^4$.

Так как вторая производная $f''(y) = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} y^{-3/4} = \frac{5}{16}y^{-3/4}$ положительна при $y>0$, точка $y_0$ является точкой минимума. Однако, $f'(y)$ меняет знак с минуса на плюс, значит $y_0$ - точка минимума. Проверим знак производной. Если $0 < y < y_0$, то $f'(y) < 0$ (функция убывает). Если $y > y_0$, то $f'(y) > 0$ (функция возрастает). Значит, в точке $y_0$ достигается глобальный максимум, а не минимум. Ошибка в рассуждении. Давайте внимательнее: $y^{1/4} < 12/5 \implies f'(y) < 0$. $y^{1/4} > 12/5 \implies f'(y) > 0$. Так что $y_0$ - точка минимума. Тогда функция убывает до $y_0$ и возрастает после. Ой, нет, $f''(y) = \frac{5}{16}y^{-3/4}$. Для $y>0$, $f''(y)>0$. Нет, $f''(y) = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} y^{-3/4}$. $f'(y) = \frac{5}{4}y^{1/4} - 3$. $f''(y) = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}y^{-3/4} = \frac{5}{16}y^{-3/4}$. Это положительно, значит, $y_0$ - точка минимума. Давайте найдем значение функции в этой точке. $f(y_0) = (y_0)^{5/4} - 3y_0 - 4 = (y_0^{1/4})^5 - 3y_0 - 4 = (\frac{12}{5})^5 - 3(\frac{12}{5})^4 - 4$ $f(y_0) = (\frac{12}{5})^4 \left(\frac{12}{5} - 3\right) - 4 = (\frac{12}{5})^4 \left(\frac{12-15}{5}\right) - 4 = - \frac{3}{5}\left(\frac{12}{5}\right)^4 - 4$ Это значение очевидно отрицательно. Поскольку $f(y)$ имеет единственный глобальный минимум, и значение в этой точке отрицательно, это означает, что $f(y) < 0$ для всех $y > 0$. Следовательно, уравнение $y^{5/4} - 3y - 4 = 0$ не имеет решений в области $y>0$. Это означает, что исходная система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} |x|^{|y|} = 4 \\ xy = 40 \end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$. Из первого уравнения также следует $|x| \neq 1$.

Из второго уравнения $xy=40$ следует, что $\text{x}$ и $\text{y}$ имеют одинаковый знак.

Случай 1: $x > 0$ и $y > 0$.

В этом случае $|x|=x$ и $|y|=y$. Система принимает вид:

$\begin{cases} x^y = 4 \\ xy = 40 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x = 4^{1/y}$. Подставим во второе уравнение:

$4^{1/y} \cdot y = 40$

Рассмотрим функцию $h(y) = y \cdot 4^{1/y}$ для $y>0$. Нам нужно найти $\text{y}$, при котором $h(y)=40$.

Исследуем эту функцию с помощью производной:

$h'(y) = (y)' \cdot 4^{1/y} + y \cdot (4^{1/y})' = 1 \cdot 4^{1/y} + y \cdot 4^{1/y} \cdot \ln 4 \cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right)$

$h'(y) = 4^{1/y} \left(1 - \frac{\ln 4}{y}\right)$

Производная равна нулю при $1 - \frac{\ln 4}{y} = 0$, то есть $y = \ln 4 = 2\ln 2 \approx 1.386$.

При $0 < y < \ln 4$, $h'(y) < 0$ (функция убывает). При $y > \ln 4$, $h'(y) > 0$ (функция возрастает). Следовательно, в точке $y_0 = \ln 4$ функция $h(y)$ достигает своего глобального минимума.

Значение в точке минимума: $h(\ln 4) = \ln 4 \cdot 4^{1/\ln 4} = \ln 4 \cdot e^{\frac{\ln 4}{\ln 4}} = e\ln 4 \approx 2.718 \cdot 1.386 \approx 3.767$.

Нас интересует решение уравнения $h(y) = 40$. Поскольку $40 > h_{min} \approx 3.767$, и функция непрерывна, уравнение имеет два корня. Один корень на интервале $(0, \ln 4)$ и второй на $(\ln 4, \infty)$.

Однако, эти корни не являются рациональными числами и не могут быть найдены простыми алгебраическими методами. Стандартные школьные методы не позволяют найти точное значение этих корней. Они могут быть найдены только численно.

Случай 2: $x < 0$ и $y < 0$.

Пусть $x = -a$ и $y = -b$, где $a>0, b>0$.

Первое уравнение: $|-a|^{|-b|} = 4 \implies a^b = 4$.

Второе уравнение: $(-a)(-b) = 40 \implies ab = 40$.

Мы получили точно такую же систему для $\text{a}$ и $\text{b}$, как и для $\text{x}$ и $\text{y}$ в первом случае. Следовательно, если $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ - два решения из первого случая, то $(-x_1, -y_1)$ и $(-x_2, -y_2)$ будут решениями этой системы.

Таким образом, система имеет четыре решения, но они не могут быть выражены в виде простых чисел или выражений.

Ответ: Система имеет четыре действительных решения, которые не могут быть найдены аналитически стандартными методами.