Номер 7.59, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.59. Решите систему логарифмических уравнений:

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \lg(x^2 + y^2) = 1 - \lg 8 \\ \lg(x + y) - \lg(x - y) = \lg 3 \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 > 0 \\ x + y > 0 \\ x - y > 0 \end{cases} $

Из $x - y > 0$ следует $x > y$. Сложив неравенства $x + y > 0$ и $x - y > 0$, получим $2x > 0$, что означает $x > 0$. Первое неравенство $x^2 + y^2 > 0$ выполняется для всех $\text{x}$ и $\text{y}$, не равных одновременно нулю, что уже следует из $x>0$.

Теперь преобразуем оба уравнения системы.

Первое уравнение: $ \lg(x^2 + y^2) = 1 - \lg 8 $

Представим $\text{1}$ как $\lg 10$: $ \lg(x^2 + y^2) = \lg 10 - \lg 8 $

Используем свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$: $ \lg(x^2 + y^2) = \lg(10/8) = \lg(5/4) $

Приравнивая аргументы логарифмов, получаем: $ x^2 + y^2 = 5/4 $

Второе уравнение: $ \lg(x + y) - \lg(x - y) = \lg 3 $

Используем то же свойство разности логарифмов: $ \lg\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \lg 3 $

Приравнивая аргументы логарифмов, получаем: $ \frac{x + y}{x - y} = 3 $

$ x + y = 3(x - y) $

$ x + y = 3x - 3y $

$ 4y = 2x $

$ x = 2y $

Теперь у нас есть система из двух алгебраических уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5/4 \\ x = 2y \end{cases} $

Подставим выражение для $\text{x}$ из второго уравнения в первое: $ (2y)^2 + y^2 = 5/4 $

$ 4y^2 + y^2 = 5/4 $

$ 5y^2 = 5/4 $

$ y^2 = 1/4 $

Отсюда $y = 1/2$ или $y = -1/2$.

Найдем соответствующие значения $\text{x}$:

1. Если $y = 1/2$, то $x = 2 \cdot (1/2) = 1$.

2. Если $y = -1/2$, то $x = 2 \cdot (-1/2) = -1$.

Проверим полученные пары решений на соответствие ОДЗ ($x > 0$, $x+y>0$, $x-y>0$):

1. Для пары $(1, 1/2)$:

$x = 1 > 0$ (верно).

$x + y = 1 + 1/2 = 3/2 > 0$ (верно).

$x - y = 1 - 1/2 = 1/2 > 0$ (верно).

Следовательно, пара $(1, 1/2)$ является решением.

2. Для пары $(-1, -1/2)$:

$x = -1 > 0$ (неверно).

Эта пара не удовлетворяет ОДЗ и не является решением.

Ответ: $(1, 1/2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_x(3x + 2y) = 2 \\ \log_y(2x + 3y) = 2 \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Основания логарифмов должны быть больше нуля и не равны единице, а аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x > 0, x \ne 1 \\ y > 0, y \ne 1 \\ 3x + 2y > 0 \\ 2x + 3y > 0 \end{cases} $

Так как $x > 0$ и $y > 0$, то неравенства $3x + 2y > 0$ и $2x + 3y > 0$ выполняются автоматически.

Преобразуем уравнения системы, используя определение логарифма $\log_b a = c \iff b^c = a$:

$ \begin{cases} x^2 = 3x + 2y \\ y^2 = 2x + 3y \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$ x^2 - y^2 = (3x + 2y) - (2x + 3y) $

$ x^2 - y^2 = 3x + 2y - 2x - 3y $

$ x^2 - y^2 = x - y $

$ (x - y)(x + y) = x - y $

$ (x - y)(x + y) - (x - y) = 0 $

$ (x - y)(x + y - 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: $x - y = 0 \implies x = y$.

Подставим $x=y$ в первое уравнение системы $x^2 = 3x + 2y$: $ x^2 = 3x + 2x $

$ x^2 = 5x $

$ x^2 - 5x = 0 $

$ x(x - 5) = 0 $

Получаем $x = 0$ или $x = 5$. Если $x = 0$, то и $y = 0$. Эта пара не удовлетворяет ОДЗ ($x > 0, y > 0$). Если $x = 5$, то и $y = 5$. Проверим по ОДЗ: $x=5>0, x \ne 1$ (верно), $y=5>0, y \ne 1$ (верно). Таким образом, $(5, 5)$ является решением.

Случай 2: $x + y - 1 = 0 \implies y = 1 - x$.

Подставим $y = 1-x$ в первое уравнение системы $x^2 = 3x + 2y$: $ x^2 = 3x + 2(1 - x) $

$ x^2 = 3x + 2 - 2x $

$ x^2 = x + 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 2, x_2 = -1$.

- Если $x = 2$, то $y = 1 - 2 = -1$. Это противоречит ОДЗ ($y > 0$). Решений нет.

- Если $x = -1$, то это противоречит ОДЗ ($x > 0$). Решений нет.

Единственным решением, удовлетворяющим ОДЗ, является пара, полученная в первом случае.

Ответ: $(5, 5)$.