Номер 7.58, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.58. Решите уравнение:

1) $x^{\log_5 x - 2} = 125;$

2) $x=10^{1-\frac{1}{4}\lg x};$

3) $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} = 162;$

4) $0,1 \cdot x^{\lg x-2} = 100;$

5) $x^{\lg 2} \cdot 2^{-\lg x} = 1;$

6) $\log_x (9x^2) \cdot \log_3^2 x = 4;$

7) $\log(\log x) + \log(\log x^3 - 2) = 0;$

8) $x^{\log_x 2(x^2-1)} = 5;$

9) $\log(\sqrt{6 + x} + 6) = \frac{2}{\log_{\sqrt{x}} 10};$

10) $2^{\log_5 x^4} \cdot 5^{\log_5 x} = 400.$

1) $x^{\log_5 x - 2} = 125$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5: $\log_5(x^{\log_5 x - 2}) = \log_5(125)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем: $(\log_5 x - 2) \cdot \log_5 x = \log_5(5^3)$

$(\log_5 x - 2) \cdot \log_5 x = 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид: $(t - 2) \cdot t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$:

1) $\log_5 x = 3 \implies x = 5^3 = 125$.

2) $\log_5 x = -1 \implies x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 125, x_2 = \frac{1}{5}$.

2) $x = 10^{1 - \frac{1}{4} \lg x}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (возьмем десятичный логарифм): $\lg x = \lg(10^{1 - \frac{1}{4} \lg x})$

Используя свойство $\log_a(a^b) = b$, получаем: $\lg x = 1 - \frac{1}{4} \lg x$

Сделаем замену. Пусть $t = \lg x$. $t = 1 - \frac{1}{4}t$

$t + \frac{1}{4}t = 1$

$\frac{5}{4}t = 1$

$t = \frac{4}{5}$

Вернемся к $\text{x}$: $\lg x = \frac{4}{5} \implies x = 10^{4/5}$.

Корень $10^{4/5} > 0$, удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 10^{4/5}$.

3) $3^{\log_2^2 x} + x^{\log_2 x} = 162$

В условии, вероятно, опечатка. В таком виде уравнение не решается стандартными методами. Выражение $x^{\log_2 x}$ можно преобразовать: $x^{\log_2 x} = (2^{\log_2 x})^{\log_2 x} = 2^{(\log_2 x)^2}$. Тогда уравнение принимает вид $3^{(\log_2 x)^2} + 2^{(\log_2 x)^2} = 162$, и его решение не является "школьным".

Наиболее вероятная форма уравнения, которая решается стандартно, это $3^{\log_2 x} + x^{\log_2 3} = 162$. Решим это уравнение.

ОДЗ: $x > 0$.

Используем тождество $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$ для второго слагаемого: $x^{\log_2 3} = 3^{\log_2 x}$.

Уравнение принимает вид: $3^{\log_2 x} + 3^{\log_2 x} = 162$

$2 \cdot 3^{\log_2 x} = 162$

$3^{\log_2 x} = 81$

$3^{\log_2 x} = 3^4$

Приравниваем показатели степени: $\log_2 x = 4$

$x = 2^4 = 16$.

Корень $x=16$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 16$.

4) $0,1 \cdot x^{\lg x - 2} = 100$

ОДЗ: $x > 0$.

Разделим обе части на 0,1: $x^{\lg x - 2} = \frac{100}{0,1}$

$x^{\lg x - 2} = 1000$

Прологарифмируем обе части по основанию 10: $\lg(x^{\lg x - 2}) = \lg(1000)$

$(\lg x - 2)\lg x = \lg(10^3)$

$(\lg x - 2)\lg x = 3$

Пусть $t = \lg x$: $(t - 2)t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Корни: $t_1 = 3, t_2 = -1$.

Вернемся к $\text{x}$:

1) $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.

2) $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0,1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 1000, x_2 = 0,1$.

5) $x^{\lg^2 x} \cdot 2^{-\lg x} = 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Проверим $x=1$. $\lg 1 = 0$, $1^{0^2} \cdot 2^{-0} = 1 \cdot 1 = 1$. $x=1$ является корнем.

Прологарифмируем обе части по основанию 10: $\lg(x^{\lg^2 x} \cdot 2^{-\lg x}) = \lg 1$

$\lg(x^{\lg^2 x}) + \lg(2^{-\lg x}) = 0$

$\lg^2 x \cdot \lg x + (-\lg x) \cdot \lg 2 = 0$

$\lg^3 x - \lg x \cdot \lg 2 = 0$

Вынесем $\lg x$ за скобки: $\lg x (\lg^2 x - \lg 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $\lg x = 0 \implies x = 10^0 = 1$.

2) $\lg^2 x - \lg 2 = 0 \implies \lg^2 x = \lg 2 \implies \lg x = \pm\sqrt{\lg 2}$.

Отсюда $x = 10^{\sqrt{\lg 2}}$ и $x = 10^{-\sqrt{\lg 2}}$.

Все три корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 10^{\sqrt{\lg 2}}, x_3 = 10^{-\sqrt{\lg 2}}$.

6) $\log_x(9x^2) \cdot \log_3^2 x = 4$

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_x(9x^2) = \frac{\log_3(9x^2)}{\log_3 x} = \frac{\log_3 9 + \log_3 x^2}{\log_3 x} = \frac{2 + 2\log_3 x}{\log_3 x}$.

Подставим в исходное уравнение: $\frac{2 + 2\log_3 x}{\log_3 x} \cdot \log_3^2 x = 4$

Пусть $t = \log_3 x$. Так как $x \neq 1$, то $t \neq 0$. $\frac{2 + 2t}{t} \cdot t^2 = 4$

$(2 + 2t) \cdot t = 4$

$2t^2 + 2t - 4 = 0$

$t^2 + t - 2 = 0$

Корни: $t_1 = 1, t_2 = -2$.

Вернемся к $\text{x}$:

1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.

2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{9}$.

7) $\log(\log x) + \log(\log x^3 - 2) = 0$

ОДЗ:

1) $x > 0$.

2) $\log x > 0 \implies x > 1$.

3) $\log x^3 - 2 > 0 \implies 3\log x > 2 \implies \log x > \frac{2}{3} \implies x > 10^{2/3}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 10^{2/3}$.

Используем свойство $\log a + \log b = \log(ab)$: $\log((\log x)(\log x^3 - 2)) = 0$

$(\log x)(3\log x - 2) = 10^0 = 1$

Пусть $t = \log x$: $t(3t - 2) = 1$

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

$t = \frac{2 \pm 4}{6}$. Корни $t_1 = \frac{6}{6} = 1$ и $t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Вернемся к $\text{x}$:

1) $\log x = 1 \implies x = 10$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $10 > 10^{2/3}$.

2) $\log x = -\frac{1}{3} \implies x = 10^{-1/3}$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$.

Ответ: $x=10$.

8) $x^{\log_{x^2} 2(x^2 - 1)} = 5$

Запись $\log_{x^2}$ означает логарифм по основанию $x^2$.

ОДЗ:

1) Основание степени $x>0$.

2) Основание логарифма $x^2 > 0$ (т.е. $x \neq 0$) и $x^2 \neq 1$ (т.е. $x \neq 1, x \neq -1$).

3) Аргумент логарифма $2(x^2-1) > 0 \implies x^2-1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1$ или $x < -1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.

Преобразуем показатель степени, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{x^2}(2(x^2-1)) = \frac{1}{2}\log_x(2(x^2-1))$.

Подставим в уравнение: $x^{\frac{1}{2}\log_x(2(x^2-1))} = 5$

$(x^{\log_x(2(x^2-1))})^{1/2} = 5$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b}=b$: $(2(x^2-1))^{1/2} = 5$

$\sqrt{2(x^2-1)} = 5$

Возведем обе части в квадрат: $2(x^2 - 1) = 25$

$x^2 - 1 = 12,5$

$x^2 = 13,5 = \frac{27}{2}$

$x = \pm \sqrt{\frac{27}{2}} = \pm \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Согласно ОДЗ $x > 1$, выбираем положительный корень.

Ответ: $x = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

9) $\log(\sqrt{6+x} + 6) = \frac{2}{\log_{\sqrt{x}} 10}$

ОДЗ:

1) $6+x \ge 0 \implies x \ge -6$.

2) Основание логарифма $\sqrt{x} > 0$ (т.е. $x>0$) и $\sqrt{x} \neq 1$ (т.е. $x \neq 1$).

Общее ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Преобразуем правую часть, используя свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$: $\frac{1}{\log_{\sqrt{x}} 10} = \log_{10}(\sqrt{x}) = \lg(\sqrt{x})$.

Уравнение принимает вид: $\lg(\sqrt{6+x} + 6) = 2\lg(\sqrt{x})$

$\lg(\sqrt{6+x} + 6) = \lg((\sqrt{x})^2)$

$\lg(\sqrt{6+x} + 6) = \lg(x)$

Приравниваем аргументы логарифмов: $\sqrt{6+x} + 6 = x$

$\sqrt{6+x} = x - 6$

Для того чтобы корень был определен и равенство было возможно, правая часть должна быть неотрицательной: $x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$. Это условие более сильное, чем ОДЗ.

Возведем обе части в квадрат: $6+x = (x-6)^2$

$6+x = x^2 - 12x + 36$

$x^2 - 13x + 30 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1=10, x_2=3$.

Проверяем по условию $x \ge 6$. Корень $x=10$ подходит, корень $x=3$ не подходит.

Ответ: $x=10$.

10) $2^{\log_3 x^4} \cdot 5^{\log_5 x} = 400$

Основание первого логарифма на изображении нечеткое. Предположим, что это опечатка и основание равно 2, так как это позволяет максимально упростить выражение с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.

Примем уравнение в виде: $2^{\log_2(x^4)} \cdot 5^{\log_5 x} = 400$.

ОДЗ: $x^4 > 0 \implies x \neq 0$ и $x > 0$. Итого: $x > 0$.

Упростим левую часть: $2^{\log_2(x^4)} = x^4$

$5^{\log_5 x} = x$

Уравнение принимает вид: $x^4 \cdot x = 400$

$x^5 = 400$

$x = \sqrt[5]{400}$.

Этот корень положителен и удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \sqrt[5]{400}$.