Номер 7.56, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.56. Решите уравнение:

1) $ \log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2\log_3 15; $

2) $ \log_2(2^{2(x+1)} + 2^x) = 2\log_4 5; $

3) $ \log_3(3^x - 8) = 2 - x; $

4) $ \log_7(6 + 7^{-x}) = 1 + x. $

1) $\log_5(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2\log_{25}15$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$5^{2x} - 2 \cdot 5^x > 0$

$5^x(5^x - 2) > 0$

Поскольку $5^x > 0$ для любого $\text{x}$, неравенство сводится к:

$5^x - 2 > 0 \implies 5^x > 2 \implies x > \log_5 2$

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$2\log_{25}15 = 2\log_{5^2}15 = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_5 15 = \log_5 15$

Подставим это в исходное уравнение:

$\log_5(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = \log_5 15$

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$5^{2x} - 2 \cdot 5^x = 15$

$5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $x > \log_5 2$, то $t > 5^{\log_5 2} = 2$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение, например, по теореме Виета:

$t_1 = 5$, $t_2 = -3$

Корень $t_2 = -3$ не подходит, так как $t = 5^x$ должно быть положительным. Корень $t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t > 2$.

Вернемся к замене:

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 > \log_5 2$, так как $\log_5 5 > \log_5 2$).

Ответ: $\text{1}$

2) $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = 2\log_4 5$

ОДЗ: Аргумент логарифма $2^{2(x+1)} + 2^{4x}$ является суммой двух положительных показательных функций, поэтому он всегда положителен. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$2\log_4 5 = 2\log_{2^2} 5 = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_2 5 = \log_2 5$

Уравнение принимает вид:

$\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = \log_2 5$

Приравняем аргументы логарифмов:

$2^{2(x+1)} + 2^{4x} = 5$

$2^{2x+2} + 2^{4x} = 5$

$2^{2x} \cdot 2^2 + (2^{2x})^2 = 5$

$4 \cdot 2^{2x} + (2^{2x})^2 - 5 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 = 1$, $t_2 = -5$

Корень $t_2 = -5$ не подходит, так как $t > 0$.

Вернемся к замене:

$2^{2x} = 1$

$2^{2x} = 2^0$

$2x = 0$

$x = 0$

Ответ: $\text{0}$

3) $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$

ОДЗ: $3^x - 8 > 0 \implies 3^x > 8 \implies x > \log_3 8$.

По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$):

$3^x - 8 = 3^{2-x}$

$3^x - 8 = \frac{3^2}{3^x}$

$3^x - 8 = \frac{9}{3^x}$

Сделаем замену. Пусть $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t > 8$.

$t - 8 = \frac{9}{t}$

Умножим обе части на $\text{t}$ (так как $t>0$):

$t(t - 8) = 9$

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$t_1 = 9$, $t_2 = -1$

Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t>0$. Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $t>8$.

Вернемся к замене:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $2 > \log_3 8$. Это верно, так как $2 = \log_3 9$, а $\log_3 9 > \log_3 8$.

Ответ: $\text{2}$

4) $\log_7(6 + 7^{-x}) = 1 + x$

ОДЗ: $6 + 7^{-x} > 0$. Это неравенство выполняется для любых $\text{x}$, так как $7^{-x} > 0$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

По определению логарифма:

$6 + 7^{-x} = 7^{1+x}$

$6 + \frac{1}{7^x} = 7 \cdot 7^x$

Сделаем замену. Пусть $t = 7^x$. Тогда $t > 0$.

$6 + \frac{1}{t} = 7t$

Умножим обе части на $\text{t}$:

$6t + 1 = 7t^2$

$7t^2 - 6t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$

$t = \frac{6 \pm 8}{2 \cdot 7}$

$t_1 = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Корень $t_2 = -1/7$ не подходит, так как $t>0$.

Вернемся к замене:

$7^x = 1$

$7^x = 7^0$

$x = 0$

Ответ: $\text{0}$