Номер 7.52, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.52. Решите уравнение:

1) $log_{\sqrt{3}} \sqrt{2x+1} = 1$

2) $log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2x-1} = -2$

3) $log_{\frac{2}{3}} \frac{2x+3}{x-2} = 1$

4) $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0$

1) Дано уравнение $log_3 \sqrt{2x+1} = 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\sqrt{2x+1} > 0$

Это неравенство равносильно тому, что подкоренное выражение строго больше нуля:

$2x+1 > 0$

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$\sqrt{2x+1} = 3^1$

$\sqrt{2x+1} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+1})^2 = 3^2$

$2x+1 = 9$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $4 > -1/2$. Условие выполняется.

Ответ: $\text{4}$.

2) Дано уравнение $log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2x-1} = -2$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\sqrt[3]{2x-1} > 0$

Так как кубический корень сохраняет знак подкоренного выражения, неравенство равносильно следующему:

$2x-1 > 0$

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Решаем уравнение по определению логарифма:

$\sqrt[3]{2x-1} = (\frac{1}{2})^{-2}$

$\sqrt[3]{2x-1} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{2x-1})^3 = 4^3$

$2x-1 = 64$

$2x = 65$

$x = \frac{65}{2}$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $\frac{65}{2} = 32.5$, и $32.5 > \frac{1}{2}$. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{65}{2}$.

3) Дано уравнение $log_{\frac{2}{5}} \frac{2x+3}{x-2} = 1$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{2x+3}{x-2} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -3/2$. Нуль знаменателя: $x=2$.

Эти точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty; -3/2)$, $(-3/2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Проверив знак выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3/2) \cup (2; +\infty)$.

Решаем уравнение по определению логарифма:

$\frac{2x+3}{x-2} = (\frac{2}{5})^1$

$\frac{2x+3}{x-2} = \frac{2}{5}$

Используя свойство пропорции (при $x \neq 2$):

$5(2x+3) = 2(x-2)$

$10x+15 = 2x-4$

$8x = -19$

$x = -\frac{19}{8}$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $x = -19/8 = -2.375$. Так как $-2.375 < -1.5$ (т.е. $-3/2$), то корень $x = -19/8$ входит в ОДЗ.

Ответ: $-\frac{19}{8}$.

4) Дано уравнение $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{1}{3x-5} > 0$

Так как числитель $\text{1}$ положителен, знаменатель также должен быть положителен:

$3x-5 > 0$

$3x > 5$

$x > \frac{5}{3}$

Логарифм равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен единице.

$\frac{1}{3x-5} = 1$

Отсюда следует, что знаменатель равен 1:

$3x-5 = 1$

$3x = 6$

$x = 2$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $2 > 5/3$, так как $6/3 > 5/3$. Условие выполняется.

Ответ: $\text{2}$.