Номер 7.47, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.47. Найдите произведение корней уравнения

$\sqrt[3]{10+3x-x^2} \cdot \lg(7-x-x^2) = 0.$

Данное уравнение имеет вид $A \cdot B = 0$, где $A = \sqrt[3]{10 + 3x - x^2}$ и $B = \lg(7 - x - x^2)$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под знаком кубического корня определено для любых действительных $\text{x}$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$7 - x - x^2 > 0$

Умножим неравенство на $-1$, изменив знак:

$x^2 + x - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29$. Корни равны $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 + x - 7$ направлены вверх, неравенство $x^2 + x - 7 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{29}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{29}}{2})$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений, решения которых должны принадлежать ОДЗ:

1) $\sqrt[3]{10 + 3x - x^2} = 0 \implies 10 + 3x - x^2 = 0 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

2) $\lg(7 - x - x^2) = 0 \implies 7 - x - x^2 = 10^0 \implies 7 - x - x^2 = 1 \implies x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = 2$ и $x_4 = -3$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные значения ОДЗ.

- Проверим $x=5$. Нужно, чтобы $5 < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$. Умножим на 2: $10 < -1 + \sqrt{29} \implies 11 < \sqrt{29}$. Возведем в квадрат: $121 < 29$. Это неверно. Корень $x=5$ не подходит.

- Проверим $x=-2$. Нужно, чтобы $\frac{-1 - \sqrt{29}}{2} < -2 < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$.

Проверим левое неравенство: $\frac{-1 - \sqrt{29}}{2} < -2 \implies -1 - \sqrt{29} < -4 \implies 3 < \sqrt{29} \implies 9 < 29$. Это верно.

Проверим правое неравенство: $-2 < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \implies -4 < -1 + \sqrt{29} \implies -3 < \sqrt{29}$. Это верно. Корень $x=-2$ подходит.

- Проверим $x=2$. Нужно, чтобы $\frac{-1 - \sqrt{29}}{2} < 2 < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$.

Левое неравенство очевидно верно, так как отрицательное число меньше положительного. Проверим правое неравенство: $2 < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \implies 4 < -1 + \sqrt{29} \implies 5 < \sqrt{29} \implies 25 < 29$. Это верно. Корень $x=2$ подходит.

- Проверим $x=-3$. Нужно, чтобы $\frac{-1 - \sqrt{29}}{2} < -3 < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$.

Проверим левое неравенство: $\frac{-1 - \sqrt{29}}{2} < -3 \implies -1 - \sqrt{29} < -6 \implies 5 < \sqrt{29} \implies 25 < 29$. Это верно.

Проверим правое неравенство: $-3 < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \implies -6 < -1 + \sqrt{29} \implies -5 < \sqrt{29}$. Это верно, так как $\sqrt{29}$ - положительное число. Корень $x=-3$ подходит.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа $-2, 2, -3$.

Найдем произведение корней: $(-2) \cdot 2 \cdot (-3) = 12$.

Ответ: $12$