Вопросы, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение простейшего логарифмического уравнения.

2. Как определяется область допустимых значений переменной в логарифмическом уравнении?

3. Опишите суть метода введения новой переменной при решении логарифмического уравнения.

1. Дайте определение простейшего логарифмического уравнения.

Простейшим логарифмическим уравнением называется уравнение вида $log_a(f(x)) = b$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — данные числа, а $f(x)$ — выражение, содержащее переменную $\text{x}$. Чаще всего под простейшим уравнением понимают случай, когда $f(x) = x$, то есть уравнение вида $log_a(x) = b$.

В этом уравнении:

• $\text{x}$ — неизвестная переменная.
• $\text{a}$ — основание логарифма, которое должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.
• $\text{b}$ — любое действительное число.

Решение такого уравнения основано на определении логарифма: логарифм числа $\text{x}$ по основанию $\text{a}$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $\text{a}$, чтобы получить $\text{x}$. Следовательно, решением уравнения $log_a(x) = b$ является $x = a^b$. Это решение единственное и всегда удовлетворяет области допустимых значений ($x > 0$), так как $a > 0$.

Ответ: Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида $log_a(x) = b$, где $\text{x}$ — переменная, $\text{a}$ — основание логарифма ($a > 0$, $a \neq 1$), а $\text{b}$ — некоторое число.

2. Как определяется область допустимых значений переменной в логарифмическом уравнении?

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной в логарифмическом уравнении находится из fundamentalных свойств логарифмической функции. Для каждого логарифма, присутствующего в уравнении, вида $log_{g(x)}(f(x))$, должны одновременно выполняться три условия:

1. Аргумент логарифма (выражение под знаком логарифма) должен быть строго положительным: $f(x) > 0$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $g(x) > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $g(x) \neq 1$.

Если в уравнении несколько логарифмических выражений, то ОДЗ всего уравнения является пересечением (общей частью) областей допустимых значений для каждого из них. Таким образом, для нахождения ОДЗ необходимо составить систему неравенств, включающую все перечисленные условия для всех логарифмов в уравнении, и решить ее.

Ответ: Область допустимых значений переменной в логарифмическом уравнении определяется системой неравенств, которые требуют, чтобы для каждого логарифма в уравнении его аргумент был строго больше нуля, а его основание было строго больше нуля и не равно единице.

3. Опишите суть метода введения новой переменной при решении логарифмического уравнения.

Метод введения новой переменной (или метод замены) является одним из основных методов решения сложных логарифмических уравнений. Его суть заключается в том, чтобы упростить исходное уравнение, сведя его к более простому алгебраическому уравнению (например, квадратному, дробно-рациональному и т.д.).

Алгоритм применения метода следующий:

1. Найти в уравнении повторяющееся логарифмическое выражение. Например, в уравнении $(\log_2(x))^2 - 5\log_2(x) + 4 = 0$ таким выражением является $\log_2(x)$.
2. Ввести новую переменную для этого выражения. Например, пусть $t = \log_2(x)$.
3. Подставить новую переменную в исходное уравнение. В нашем примере получится квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 4 = 0$.
4. Решить полученное алгебраическое уравнение относительно новой переменной. Корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ это $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
5. Выполнить обратную замену. Для каждого найденного значения новой переменной решить простейшее логарифмическое уравнение.

   $\log_2(x) = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

   $\log_2(x) = 4 \implies x_2 = 2^4 = 16$.

6. Проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. В данном примере ОДЗ: $x > 0$. Оба корня $x_1=2$ и $x_2=16$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: Суть метода состоит в замене повторяющегося в уравнении логарифмического выражения на новую переменную, что приводит к упрощению уравнения до алгебраического. После нахождения значений новой переменной производят обратную замену и находят корни исходного уравнения, которые затем проверяют по ОДЗ.