Номер 7.38, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.38*. Решите уравнение $9^{-|x+2|} - 4 \cdot 3^{-|x+2|} - a = 0$ для всех действительных значений параметра $\text{a}$.

Исходное уравнение: $9^{-|x+2|} - 4 \cdot 3^{-|x+2|} - a = 0$.

Заметим, что $9^{-|x+2|} = (3^2)^{-|x+2|} = (3^{-|x+2|})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{-|x+2|}$.

Определим область допустимых значений для $\text{t}$. Так как $|x+2| \ge 0$, то $-|x+2| \le 0$. Показательная функция $y=3^z$ является возрастающей, поэтому $3^{-|x+2|} \le 3^0 = 1$. Также, показательная функция всегда принимает положительные значения, поэтому $t > 0$. Таким образом, $\text{t}$ принадлежит полуинтервалу $(0, 1]$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $\text{t}$: $t^2 - 4t - a = 0$

Выразим параметр $\text{a}$ через $\text{t}$: $a = t^2 - 4t$.

Теперь задача сводится к нахождению количества решений исходного уравнения в зависимости от того, сколько значений $t \in (0, 1]$ принимает функция $f(t) = t^2 - 4t$ при различных значениях $\text{a}$.

Исследуем функцию $f(t) = t^2 - 4t$ на промежутке $t \in (0, 1]$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $t_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Так как вершина $t_v = 2$ не принадлежит промежутку $(0, 1]$, на этом промежутке функция является монотонной. Поскольку $1 < 2$, функция $f(t)$ на промежутке $(0, 1]$ является строго убывающей.

Найдем значения функции на концах промежутка:

При $t=1$: $f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 = -3$.

При $t \to 0^+$: $f(t) \to 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, область значений функции $f(t)$ на промежутке $t \in (0, 1]$ есть полуинтервал $[-3, 0)$.

Теперь рассмотрим, сколько решений для $\text{x}$ соответствует каждому значению $t \in (0, 1]$. Из замены $t = 3^{-|x+2|}$ следует $-|x+2| = \log_3 t$, или $|x+2| = -\log_3 t = \log_3(1/t)$.

1. Если $t=1$, то $|x+2| = \log_3(1) = 0$, что дает одно решение $x=-2$.

2. Если $t \in (0, 1)$, то $1/t > 1$, и $\log_3(1/t) > 0$. Уравнение $|x+2| = C$, где $C>0$, имеет два различных решения: $x = -2 \pm C$.

Рассмотрим все возможные значения параметра $\text{a}$.

При $a < -3$ или $a \ge 0$

В этом случае значение $\text{a}$ не попадает в область значений функции $f(t) = t^2-4t$ на промежутке $(0, 1]$, которая равна $[-3, 0)$. Следовательно, уравнение $a = t^2 - 4t$ не имеет решений для $t \in (0, 1]$. Значит, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

При $a = -3$

Уравнение $t^2 - 4t = -3$ принимает вид $t^2 - 4t + 3 = 0$. Его корни $t_1=1$ и $t_2=3$. Промежутку $(0, 1]$ принадлежит только корень $t=1$. Как было показано выше, этому значению $\text{t}$ соответствует одно решение для $\text{x}$. $|x+2| = \log_3(1/1) = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

При $-3 < a < 0$

В этом случае значение $\text{a}$ попадает в интервал $(-3, 0)$, и уравнение $a = t^2 - 4t$ имеет ровно одно решение $t_0$ в интервале $(0, 1)$. Найдем это решение из уравнения $t^2 - 4t - a = 0$: $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-a)}}{2} = 2 \pm \sqrt{4+a}$. Поскольку $-3 < a < 0$, то $1 < 4+a < 4$, и $1 < \sqrt{4+a} < 2$. Корень $t = 2 + \sqrt{4+a}$ больше 3 и не подходит. Корень $t_0 = 2 - \sqrt{4+a}$ удовлетворяет условию $0 < t_0 < 1$. Этому значению $t_0$ соответствуют два решения для $\text{x}$: $|x+2| = \log_3(1/t_0) = \log_3\left(\frac{1}{2 - \sqrt{4+a}}\right)$. $x+2 = \pm \log_3\left(\frac{1}{2 - \sqrt{4+a}}\right)$. $x = -2 \pm \log_3\left(\frac{1}{2 - \sqrt{4+a}}\right)$.

Ответ: $x_1 = -2 - \log_3\left(\frac{1}{2 - \sqrt{4+a}}\right)$, $x_2 = -2 + \log_3\left(\frac{1}{2 - \sqrt{4+a}}\right)$.