Номер 7.34, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.34*. При каких значениях параметра $\text{a}$ данное уравнение имеет два корня?

1) $25^{x+0.5} - (5a+2) \cdot 10^x + a \cdot 4^{x+0.5} = 0$;

2) $2 \cdot 9^x - (2a+3) \cdot 6^x + 3a \cdot 4^x = 0$.

В задачах 7.35 - 7.37 решите данные уравнения и системы уравнений:

1) Рассмотрим данное уравнение: $25^{x+0.5} - (5a+2) \cdot 10^x + a \cdot 4^{x+0.5} = 0$.

Преобразуем показательные выражения в уравнении:

$25^{x+0.5} = 25^x \cdot 25^{0.5} = (5^2)^x \cdot 5 = 5 \cdot (5^x)^2$.

$10^x = (5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$.

$4^{x+0.5} = 4^x \cdot 4^{0.5} = (2^2)^x \cdot 2 = 2 \cdot (2^x)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5 \cdot (5^x)^2 - (5a+2) \cdot 5^x \cdot 2^x + 2a \cdot (2^x)^2 = 0$.

Данное уравнение является однородным относительно $5^x$ и $2^x$. Поскольку $4^x = (2^x)^2$ всегда больше нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $4^x$:

$5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - (5a+2) \cdot \frac{5^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} + 2a \cdot \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$5 \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - (5a+2) \left(\frac{5}{2}\right)^x + 2a = 0$.

Сделаем замену переменной $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция $y=b^x$ (где $b>0, b \neq 1$) принимает все положительные значения, то $t > 0$. Каждому положительному значению $\text{t}$ соответствует единственное значение $\text{x}$. Таким образом, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение относительно $\text{t}$ имеет два различных положительных корня.

Получаем квадратное уравнение: $5t^2 - (5a+2)t + 2a = 0$.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных положительных корня, должны выполняться три условия:

1. Дискриминант должен быть строго положителен: $D > 0$.
2. Сумма корней должна быть положительна: $t_1 + t_2 > 0$.
3. Произведение корней должно быть положительно: $t_1 \cdot t_2 > 0$.

1. Найдем дискриминант:

$D = (-(5a+2))^2 - 4 \cdot 5 \cdot (2a) = (5a+2)^2 - 40a = 25a^2 + 20a + 4 - 40a = 25a^2 - 20a + 4 = (5a-2)^2$.

Условие $D > 0$ эквивалентно $(5a-2)^2 > 0$, что выполняется для всех $\text{a}$, кроме $a = \frac{2}{5}$.

2. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = \frac{5a+2}{5}$.

Условие $t_1 + t_2 > 0$ дает нам неравенство $\frac{5a+2}{5} > 0$, откуда $5a+2 > 0$, то есть $a > -\frac{2}{5}$.

3. По теореме Виета, произведение корней $t_1 \cdot t_2 = \frac{2a}{5}$.

Условие $t_1 \cdot t_2 > 0$ дает нам неравенство $\frac{2a}{5} > 0$, откуда $a > 0$.

Объединим все три условия в систему:

$\begin{cases} a \neq \frac{2}{5} \\ a > -\frac{2}{5} \\ a > 0 \end{cases}$

Решением этой системы является $a > 0$ и $a \neq \frac{2}{5}$. В виде интервалов это записывается как $a \in (0; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (0; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

2) Рассмотрим уравнение $2 \cdot 9^x - (2a+3) \cdot 6^x + 3a \cdot 4^x = 0$.

Преобразуем степени:

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

$6^x = (3 \cdot 2)^x = 3^x \cdot 2^x$.

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

Подставим преобразования в уравнение:

$2 \cdot (3^x)^2 - (2a+3) \cdot 3^x \cdot 2^x + 3a \cdot (2^x)^2 = 0$.

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $4^x = (2^x)^2$, которое всегда положительно:

$2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} - (2a+3) \cdot \frac{3^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} + 3a \cdot \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$2 \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - (2a+3) \left(\frac{3}{2}\right)^x + 3a = 0$.

Сделаем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Так как $\text{x}$ может быть любым действительным числом, $\text{t}$ принимает все положительные значения, то есть $t > 0$. Исходное уравнение будет иметь два различных корня, если полученное квадратное уравнение относительно $\text{t}$ будет иметь два различных положительных корня.

Получаем уравнение: $2t^2 - (2a+3)t + 3a = 0$.

Условия для существования двух различных положительных корней:

1. $D > 0$.
2. $t_1 + t_2 > 0$.
3. $t_1 \cdot t_2 > 0$.

1. Найдем дискриминант:

$D = (-(2a+3))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3a) = (2a+3)^2 - 24a = 4a^2 + 12a + 9 - 24a = 4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2$.

Условие $D > 0$ означает, что $(2a-3)^2 > 0$, что истинно для всех $\text{a}$, кроме $a = \frac{3}{2}$.

2. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = \frac{2a+3}{2}$.

Из условия $t_1 + t_2 > 0$ получаем $\frac{2a+3}{2} > 0$, что равносильно $2a+3 > 0$, то есть $a > -\frac{3}{2}$.

3. По теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = \frac{3a}{2}$.

Из условия $t_1 \cdot t_2 > 0$ получаем $\frac{3a}{2} > 0$, что равносильно $a > 0$.

Составим систему из всех полученных условий:

$\begin{cases} a \neq \frac{3}{2} \\ a > -\frac{3}{2} \\ a > 0 \end{cases}$

Решением этой системы является $a > 0$ при $a \neq \frac{3}{2}$. Это можно записать в виде объединения интервалов: $a \in (0; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (0; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.