Номер 7.29, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.29*. Решите уравнение:

1) $(4+\sqrt{5})^x + (4-\sqrt{5})^x = 2;$

2) $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 4.$

1) $(4+\sqrt{5})^x + (4-\sqrt{5})^x = 2$

Заметим, что $x=0$ является решением уравнения, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице:

$(4+\sqrt{5})^0 + (4-\sqrt{5})^0 = 1 + 1 = 2$.

Докажем, что это единственное решение. Рассмотрим функцию $f(x) = (4+\sqrt{5})^x + (4-\sqrt{5})^x$.

Основания степеней $a = 4+\sqrt{5}$ и $b = 4-\sqrt{5}$ являются положительными числами. Оценим их:

Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то:

$a = 4+\sqrt{5} > 4+2 = 6$, следовательно $a > 1$.

$b = 4-\sqrt{5} > 4-3 = 1$, следовательно $b > 1$.

Поскольку оба основания $\text{a}$ и $\text{b}$ больше 1, показательные функции $y_1 = (4+\sqrt{5})^x$ и $y_2 = (4-\sqrt{5})^x$ являются строго возрастающими на всей числовой оси.

Сумма двух строго возрастающих функций, $f(x) = y_1+y_2$, также является строго возрастающей функцией.

Строго возрастающая функция принимает каждое свое значение ровно один раз. Поскольку мы нашли, что $f(0)=2$, уравнение $f(x)=2$ не может иметь других решений.

Следовательно, $x=0$ – единственный корень уравнения.

Ответ: $\text{0}$.

2) $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 4$

Заметим, что выражения под корнями в основаниях степеней являются сопряженными. Найдем произведение этих оснований:

$(\sqrt{2-\sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}}) = \sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.

Это означает, что одно основание является обратным к другому: $\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.

Сделаем замену. Пусть $t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x$. Так как основание $\sqrt{2+\sqrt{3}} > 0$, то $t > 0$.

Тогда $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = \left(\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)^x = \frac{1}{(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$\frac{1}{t} + t = 4$.

Умножим обе части уравнения на $\text{t}$ (так как $t \neq 0$):

$1 + t^2 = 4t$

$t^2 - 4t + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{t}$ с помощью формулы для корней:

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Мы получили два положительных значения для $\text{t}$: $t_1 = 2+\sqrt{3}$ и $t_2 = 2-\sqrt{3}$.

Теперь вернемся к замене $t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x$, которую можно записать как $t = (2+\sqrt{3})^{x/2}$.

Случай 1: $t = t_1 = 2+\sqrt{3}$.

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = 2+\sqrt{3}$

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{2} = 1 \implies x = 2$.

Случай 2: $t = t_2 = 2-\sqrt{3}$.

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = 2-\sqrt{3}$

Так как $2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$, то уравнение принимает вид:

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{2} = -1 \implies x = -2$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 2$.