Номер 7.30, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.30. Решите систему показательных уравнений:

1) $ \left\{ \begin{array}{l} 2^x + 2^y = 5, \\ 2^{x+y} = 4; \end{array} \right. $

2) $ \left\{ \begin{array}{l} y^x = 1,5 + y^{-x}, \\ y^{2.5+x} = 64. \end{array} \right. $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x + 2^y = 5, \\ 2^{x+y} = 4; \end{cases} $

Начнем со второго уравнения $2^{x+y} = 4$. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$2^{x+y} = 2^2$

Из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей:

$x+y = 2$

Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$ (или $\text{x}$ через $\text{y}$):

$y = 2-x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2^x + 2^{2-x} = 5$

Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:

$2^x + \frac{2^2}{2^x} = 5$

$2^x + \frac{4}{2^x} = 5$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $\text{x}$, то и $t > 0$.

$t + \frac{4}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $\text{t}$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$t^2 + 4 = 5t$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t=1$, то $2^x = 1$, что равносильно $2^x = 2^0$. Отсюда $x=0$. Найдем соответствующий $\text{y}$: $y = 2 - x = 2 - 0 = 2$. Получаем решение $(0; 2)$.

2. Если $t=4$, то $2^x = 4$, что равносильно $2^x = 2^2$. Отсюда $x=2$. Найдем соответствующий $\text{y}$: $y = 2 - x = 2 - 2 = 0$. Получаем решение $(2; 0)$.

Ответ: $(0; 2), (2; 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y^x = 1,5 + y^{-x}, \\ y^{2,5+x} = 64; \end{cases} $

Область допустимых значений: $y>0, y \neq 1$.

Рассмотрим первое уравнение: $y^x = 1,5 + y^{-x}$.

$y^x = \frac{3}{2} + \frac{1}{y^x}$

Сделаем замену: пусть $t = y^x$. Так как $y>0$, то $t>0$.

$t = \frac{3}{2} + \frac{1}{t}$

Умножим уравнение на $2t$ ($t \neq 0$), чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 = 3t + 2$

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -0,5$

Корень $t_2 = -0,5$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, $t = 2$, откуда $y^x = 2$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы: $y^{2,5+x} = 64$.

Используя свойство степеней, запишем: $y^{2,5} \cdot y^x = 64$.

Подставим в это уравнение найденное значение $y^x = 2$:

$y^{2,5} \cdot 2 = 64$

$y^{2,5} = 32$

$y^{5/2} = 2^5$

Чтобы найти $\text{y}$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{5}$:

$(y^{5/2})^{2/5} = (2^5)^{2/5}$

$y = 2^{5 \cdot \frac{2}{5}}$

$y = 2^2 = 4$

Найденное значение $y=4$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0, y \neq 1$).

Осталось найти $\text{x}$. Подставим $y=4$ в соотношение $y^x=2$:

$4^x = 2$

$(2^2)^x = 2^1$

$2^{2x} = 2^1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2} = 0,5$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(0,5; 4)$.

Ответ: $(0,5; 4)$.