Номер 7.28, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.28. Решите уравнение:

1) $4^{x-\sqrt{x^2-1}} + 2^{x-\sqrt{x^2-1}} = 6$;

2) $3^{1-x} - 3^{1+x} + 9^x + 9^{-x} = 0$.

1) $4^{x-\sqrt{x^2-1}} + 2^{x-\sqrt{x^2-1}} = 6$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Перепишем уравнение, приведя все степени к основанию 2. Так как $4 = 2^2$, получаем: $(2^2)^{x-\sqrt{x^2-1}} + 2^{x-\sqrt{x^2-1}} = 6$ $2^{2(x-\sqrt{x^2-1})} + 2^{x-\sqrt{x^2-1}} - 6 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{x-\sqrt{x^2-1}}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t > 0$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $\text{t}$: $t^2 + t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -3$. Поскольку $t > 0$, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Остается только $t = 2$.

Выполним обратную замену: $2^{x-\sqrt{x^2-1}} = 2$ Приравниваем показатели степени, так как основания равны: $x - \sqrt{x^2-1} = 1$

Решим полученное иррациональное уравнение: $x - 1 = \sqrt{x^2-1}$ Для того чтобы можно было возвести обе части в квадрат, левая часть должна быть неотрицательной (так как она равна квадратному корню): $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие не противоречит ОДЗ ($x \in [1, \infty)$).

Возводим обе части в квадрат: $(x-1)^2 = (\sqrt{x^2-1})^2$ $x^2 - 2x + 1 = x^2 - 1$ $-2x = -2$ $x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=1$ всем условиям. Он принадлежит ОДЗ ($1 \in [1, \infty)$) и удовлетворяет условию $x \ge 1$. Подставим $x=1$ в исходное уравнение: $4^{1-\sqrt{1^2-1}} + 2^{1-\sqrt{1^2-1}} = 4^{1-0} + 2^{1-0} = 4^1 + 2^1 = 4+2=6$. $6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: $\text{1}$

2) $3^{1-x} - 3^{1+x} + 9^x + 9^{-x} = 0$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней: $3 \cdot 3^{-x} - 3 \cdot 3^x + (3^2)^x + (3^2)^{-x} = 0$ $3 \cdot 3^{-x} - 3 \cdot 3^x + 3^{2x} + 3^{-2x} = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(3^{2x} + 3^{-2x}) - 3(3^x - 3^{-x}) = 0$ Это выражение можно упростить, если заметить, что $3^{2x} + 3^{-2x} = (9^x + 9^{-x})$.

Введем замену переменной. Пусть $z = 3^x - 3^{-x}$. Тогда $z^2 = (3^x - 3^{-x})^2 = (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2 = 3^{2x} - 2 + 3^{-2x}$. Отсюда $3^{2x} + 3^{-2x} = z^2 + 2$.

Подставим это в преобразованное уравнение: $(z^2 + 2) - 3z = 0$ $z^2 - 3z + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $\text{z}$: $(z-1)(z-2) = 0$ Корни: $z_1 = 1$, $z_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $\text{z}$.

Случай 1: $z = 1$ $3^x - 3^{-x} = 1$ Сделаем еще одну замену: $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$, то $y > 0$. $y - \frac{1}{y} = 1$ Умножим на $\text{y}$ (так как $y \neq 0$): $y^2 - 1 = y \implies y^2 - y - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение для $\text{y}$: $y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $y > 0$, выбираем корень $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Возвращаемся к $\text{x}$: $3^x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \implies x = \log_3\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$.

Случай 2: $z = 2$ $3^x - 3^{-x} = 2$ Аналогично, с заменой $y = 3^x$: $y - \frac{1}{y} = 2 \implies y^2 - 1 = 2y \implies y^2 - 2y - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение для $\text{y}$: $y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Так как $y > 0$, выбираем корень $y = 1 + \sqrt{2}$. Возвращаемся к $\text{x}$: $3^x = 1 + \sqrt{2} \implies x = \log_3(1 + \sqrt{2})$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $\log_3\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right), \log_3(1 + \sqrt{2})$