Номер 7.23, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.23. Решите уравнение:

1) $5^{x-1} = 2;$

2) $16^{2x-1} = 8^{x-2};$

3) $(\frac{1}{2})^{2x-1} = 3;$

4) $2^{3x-1} = (0,25)^{2-x}.$

1) Дано показательное уравнение $5^{x-1} = 2$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма: если $a^y = b$, то $y = \log_a b$.

Применив это определение к нашему уравнению, получаем:

$x-1 = \log_5 2$

Теперь выразим $\text{x}$, перенеся $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 1 + \log_5 2$

Это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = 1 + \log_5 2$.

2) Дано показательное уравнение $16^{2x-1} = 8^{x-2}$.

Для решения приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $16$ и $\text{8}$ являются степенями числа $\text{2}$:

$16 = 2^4$

$8 = 2^3$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^4)^{2x-1} = (2^3)^{x-2}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{4(2x-1)} = 2^{3(x-2)}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4(2x-1) = 3(x-2)$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$8x - 4 = 3x - 6$

$8x - 3x = -6 + 4$

$5x = -2$

$x = -\frac{2}{5}$

Ответ: $x = -\frac{2}{5}$.

3) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{2})^{2x-1} = 3$.

Воспользуемся определением логарифма: если $a^y = b$, то $y = \log_a b$.

Применив это определение, получаем:

$2x-1 = \log_{\frac{1}{2}} 3$

Упростим логарифм, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то:

$\log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{2^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_2 3 = -\log_2 3$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2x-1 = -\log_2 3$

Теперь выразим $\text{x}$:

$2x = 1 - \log_2 3$

$x = \frac{1 - \log_2 3}{2}$

Ответ: $x = \frac{1 - \log_2 3}{2}$.

4) Дано показательное уравнение $2^{3x-1} = (0,25)^{2-x}$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основание левой части равно $\text{2}$. Представим $0,25$ в виде степени числа $\text{2}$:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$2^{3x-1} = (2^{-2})^{2-x}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{3x-1} = 2^{-2(2-x)}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$3x-1 = -2(2-x)$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x-1 = -4 + 2x$

$3x - 2x = -4 + 1$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.